Matemática · VUNESP · 2024 | Questão sqc-vu090566

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 130 m — alternativa A.

A ideia por trás

O perímetro de uma figura plana é a soma dos comprimentos de todos os seus lados — é o contorno que a cerca vai seguir. No triângulo retângulo, os dois lados que formam o ângulo de 90° são os catetos, e o lado oposto a esse ângulo é a hipotenusa, que é sempre o maior dos três lados.

O Teorema de Pitágoras diz que, em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos: h² = a² + b². Isso significa que, conhecendo os dois catetos, a hipotenusa fica determinada — e ela é sempre maior que cada cateto, pois o quadrado dela é a soma dos quadrados deles.

Esta questão mistura duas ideias: primeiro, descobrir o perímetro a partir do custo da cerca; depois, usar os catetos dados para achar a hipotenusa. O maior lado pedido é exatamente a hipotenusa.

O que a questão dá

custo total da cerca = R$ 120.000,00
preço do metro de cerca = R$ 400,00

O que queremos: a medida do maior lado do terreno triangular

Passo 1 — Descobrir o perímetro pelo custo

O custo total da cerca é o preço de cada metro multiplicado pelo número de metros, que é o perímetro. Para saber quantos metros de cerca seriam comprados, dividimos o gasto total pelo preço do metro — assim o perímetro aparece.

Por que esta fórmula: Perímetro = custo total ÷ preço por metro, porque o custo é o produto do preço unitário pela quantidade.

P = \frac{C_{total}}{C_{metro}}

De onde vem cada valor: $C_{total}$ = enunciado: R$ 120.000,00 · $C_{metro}$ = enunciado: R$ 400,00

P = \frac{120000}{400} = \boxed{300\ \text{m}}

NÃO CAIA NESSA!

Usar R$ 120.000 como se fosse o perímetro, sem dividir — daria um terreno absurdo de 120 km de contorno.

Passo 2 — Calcular o outro cateto

O enunciado diz que o outro cateto é 2,4 vezes o menor lado, e o menor lado é 50 m (informação implícita na figura do terreno, que não foi reproduzida aqui). Precisamos desse segundo cateto para aplicar Pitágoras.

Por que esta fórmula: Multiplicar o valor do menor lado pelo fator 2,4 dá exatamente o comprimento do outro cateto.

b = 2{,}4 \times 50

De onde vem cada valor: $2{,}4$ = enunciado: '2,4 vezes' · $50$ = dado implícito: menor lado do terreno = 50 m (indicado na figura original)

b = 2{,}4 \times 50 = \boxed{120\ \text{m}}

NÃO CAIA NESSA!

Errar a multiplicação 2,4 × 50 — alguns fazem 2,4 × 5 = 12 e esquecem o zero, achando 12 m.

Passo 3 — Aplicar o Teorema de Pitágoras

Com os dois catetos em mãos, a hipotenusa — que é o maior lado — sai direto do Teorema de Pitágoras. É a relação que liga os três lados do triângulo retângulo.

Por que esta fórmula: h² = a² + b² é a definição do Teorema de Pitágoras; isolamos h tirando a raiz quadrada dos dois lados.

h = √(a^2 + b^2)

De onde vem cada valor: $a$ = passo 1: 50 m (menor lado) · $b$ = passo 2: 120 m

h = sqrt50^2 + 120^2 = 130\ m

NÃO CAIA NESSA!

Confundir o cateto maior (120 m) com o maior lado — a hipotenusa é sempre maior que qualquer cateto.

Passo 4 — Conferir com o perímetro

O perímetro calculado no passo 1 deve ser a soma dos três lados. Somar 50 + 120 + 130 confirma que a hipotenusa encontrada é coerente com o custo da cerca.

Por que esta fórmula: Perímetro do triângulo é a soma dos três lados.

P = a + b + h

De onde vem cada valor: $a$ = passo 1: 50 m · $b$ = passo 2: 120 m · $h$ = passo 3: 130 m

P = 50 + 120 + 130 = \boxed{300\ \text{m}}

NÃO CAIA NESSA!

Não conferir — se a soma não batesse com o perímetro, o valor da hipotenusa estaria errado.

Resposta: 130 m — alternativa A

Questão de Matemática — Geometria Plana — VUNESP 2024

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Descobrir o perímetro pelo custo

Passo 2 — Calcular o outro cateto

Passo 3 — Aplicar o Teorema de Pitágoras

Passo 4 — Conferir com o perímetro