Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — MMC e MDC — VUNESP 2024

MatemáticaMMC e MDC
Código
vu090574
Banca
VUNESP
Órgão
SAAE de Aparecida - SP
Ano
2024
Nível
Médio
Duas lâmpadas em um corredor estão com defeito, de modo que uma delas pisca a cada 1 minuto e 30 segundos, e a outra pisca a cada 2 minutos e 30 segundos. Às 10 horas, as duas lâmpadas piscaram, simultaneamente. A partir desse momento, mas desconsiderando essa ocorrência das 10 horas, é correto afirmar que, até as 10 horas e 24 minutos, as duas lâmpadas terão piscado simultaneamente
  1. A2 vezes.
  2. B3 vezes.
  3. C4 vezes.
  4. D5 vezes.
  5. E6 vezes.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 3 vezes.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 3 vezes (alternativa B).

A ideia por trás

Quando dois eventos periódicos acontecem juntos, o próximo encontro ocorre no mínimo múltiplo comum (MMC) dos períodos. O MMC é o menor número que é múltiplo de ambos os períodos; ele representa o intervalo de tempo em que os ciclos se alinham novamente. Aqui, os períodos são 90 s e 150 s; o MMC é 450 s, ou seja, 7 min 30 s. Isso significa que, a cada 7 min e 30 s, as duas lâmpadas piscam simultaneamente. Nesta questão, precisamos calcular o MMC e depois contar quantos múltiplos desse intervalo cabem dentro de 24 minutos, sem contar o instante inicial.

O que a questão dá

  • período da lâmpada 1 = 1 min 30 s = 90 s

  • período da lâmpada 2 = 2 min 30 s = 150 s

  • início: 10h (piscam juntas)

  • limite: 10h24

O que queremos: quantas vezes as duas lâmpadas piscam juntas entre 10h e 10h24, excluindo a ocorrência das 10h

Passo 1 — Converter os períodos para segundos

Para calcular o MMC, precisamos que os períodos estejam na mesma unidade. Como os períodos estão em minutos e segundos, converter para segundos facilita o cálculo, pois o MMC será em segundos.

Por que esta fórmula: 1 minuto = 60 segundos, então 1 min 30 s = 60 + 30 = 90 s e 2 min 30 s = 120 + 30 = 150 s.

1 min=60 s1\text{ min} = 60\text{ s}

De onde vem cada valor: 1 min1\text{ min} = enunciado: 1 minuto e 30 segundos e 2 minutos e 30 segundos

90 se150 s=90 se150s90\text{ s} \quad \text{e} \quad 150\text{ s} = \boxed{90\ \text{s} \text{e} 150 \text{s}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de converter os minutos e somar apenas os segundos, resultando em 1,30 e 2,30, o que está errado.

Passo 2 — Calcular o MMC de 90 e 150

O MMC dos períodos dá o intervalo de tempo em que as duas lâmpadas piscam juntas novamente. Precisamos desse valor para saber a frequência dos encontros.

Por que esta fórmula: O MMC é o menor múltiplo comum; para calculá-lo, fatoramos os números e tomamos os fatores comuns e não comuns com o maior expoente.

MMC(90,150)=2×32×52\text{MMC}(90, 150) = 2 \times 3^{2} \times 5^{2}

De onde vem cada valor: 9090 = passo 1: 90 s · 150150 = passo 1: 150 s

90=2×32×5,150=2×3×52=450 s90 = 2 \times 3^{2} \times 5, \quad 150 = 2 \times 3 \times 5^{2} = \boxed{450\ \text{s}}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular o MDC em vez do MMC, ou errar na fatoração, por exemplo, esquecer o fator 5².

Passo 3 — Converter o MMC para minutos e segundos

O intervalo de 450 s é mais fácil de visualizar em minutos e segundos para comparar com o limite de 24 minutos.

Por que esta fórmula: 450 segundos divididos por 60 dá 7 minutos e sobram 30 segundos, pois 7×60=420 e 450-420=30.

450÷60=7 min+30 s450 \div 60 = 7 \text{ min} + 30 \text{ s}

De onde vem cada valor: 450450 = passo 2: MMC = 450 s

450÷60=7,5=7 min30s450 \div 60 = 7{,}5 = \boxed{7\ \text{min} 30 \text{s}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que 0,5 minuto equivale a 30 segundos, e não 5 segundos.

Passo 4 — Listar os horários dos encontros

Com o intervalo de 7 min 30 s, podemos somar sucessivamente a partir das 10h para encontrar os instantes em que as lâmpadas piscam juntas, até ultrapassar 10h24.

Por que esta fórmula: Cada encontro ocorre somando o intervalo ao horário anterior: 10h + 7min30s = 10h07min30s, e assim por diante.

tn=10h+n×7min30st_{n} = 10\text{h} + n \times 7\text{min}30\text{s}

De onde vem cada valor: 10h10\text{h} = enunciado: às 10 horas piscaram juntas · 7min30s7\text{min}30\text{s} = passo 3: intervalo entre encontros

10:00+7:30=10:07:30,10:07:30+7:30=10:15:00,10:15:00+7:30=10:22:30,10:22:30+7:30=10:30:0010:00 + 7:30 = 10:07:30, \quad 10:07:30 + 7:30 = 10:15:00, \quad 10:15:00 + 7:30 = 10:22:30, \quad 10:22:30 + 7:30 = 10:30:00

tnt_{n} = 10h07min30s, 10h15min, 10h22min30s (e 10h30min, que ultrapassa)

NÃO CAIA NESSA!

Incluir o encontro das 10h30, que está fora do limite de 10h24, ou contar o das 10h.

Passo 5 — Contar os encontros dentro do limite

O enunciado pede até 10h24 e desconsidera a ocorrência das 10h. Precisamos contar apenas os encontros que ocorrem depois das 10h e antes ou exatamente às 10h24.

Por que esta fórmula: Dos horários listados, 10h07min30s, 10h15min e 10h22min30s são todos menores que 10h24; o próximo, 10h30, é maior, então não conta.

3 encontros\boxed{3\ \text{encontros}}
NÃO CAIA NESSA!

Contar o encontro das 10h (que é excluído) ou incluir o das 10h30 (que está fora do limite).

Resposta: 3 vezes (alternativa B)

Link permanente: /questoes/vu090574