Questão de Matemática — Áreas e Perímetros — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a a diferença entre o maior e o menor lado é 7 cm — alternativa A.

A ideia por trás

Quando uma figura plana é decomposta em outras, a área total é a soma das áreas das partes. Aqui, um quadrado de área 225 cm² é dividido em 4 retângulos congruentes (mesmas dimensões) e um quadrado central Q. Cada retângulo tem um lado maior a e um lado menor b, e o quadrado central tem lado x.

A área de um retângulo é o produto de seus lados (a × b), e a de um quadrado é o quadrado do lado (x²). A área total do quadrado grande é a soma das áreas das 5 partes: 4 retângulos mais o quadrado central. Além disso, as dimensões se encaixam: o lado do quadrado grande pode ser decomposto como a + b (um lado do retângulo mais o outro) e também como a + x (o maior lado do retângulo mais o lado do quadrado central).

Esta questão cobra montar um sistema com essas relações: uma equação para a área total, uma para a diferença de áreas entre Q e um retângulo, e duas para as decomposições do lado do quadrado grande. Resolver esse sistema revela as dimensões dos retângulos.

O que a questão dá

• área do quadrado grande = 225 cm²

• área do quadrado Q excede a área de um retângulo em 5 cm²

O que queremos: a diferença entre o maior e o menor lado de um retângulo

Passo 1 — Descobrir o lado do quadrado grande

A área do quadrado grande é dada, e o lado é a raiz quadrada da área. Esse lado será usado para relacionar as dimensões dos retângulos e do quadrado central.

Por que esta fórmula: A área de um quadrado é lado ao quadrado, então o lado é a raiz quadrada da área.

De onde vem cada valor: $A_{quad}$ = enunciado: 225 cm²

Passo 2 — Montar a equação da área total

A área total é a soma das áreas das 5 partes: 4 retângulos (cada um com área a·b) e o quadrado central (área x²). Isso dá uma equação que relaciona a, b e x.

Por que esta fórmula: A área total é a soma das áreas das partes, e cada retângulo tem área a·b, o quadrado central x².

De onde vem cada valor: $225$ = passo 1: 15 cm ao quadrado · $4ab$ = definição: 4 retângulos, cada um com área a·b · $x^{2}$ = definição: área do quadrado central

Passo 3 — Usar a diferença de áreas entre Q e um retângulo

O enunciado diz que a área do quadrado Q excede a de um retângulo em 5 cm². Isso dá uma segunda equação: x² = ab + 5.

Por que esta fórmula: A área do quadrado central é x², a do retângulo é ab, e a diferença é 5.

De onde vem cada valor: $x^{2}$ = definição: área do quadrado central · $ab$ = definição: área de um retângulo · $5$ = enunciado: excede em 5 cm²

Passo 4 — Substituir e achar o produto ab

Com as duas equações, podemos eliminar x² e achar o produto ab, que é a área de um retângulo.

Por que esta fórmula: Substituindo x² da equação do passo 3 na equação do passo 2, ficamos com uma equação só em ab.

De onde vem cada valor: $225$ = passo 1: 15 cm ao quadrado · $4ab$ = passo 2 · $ab + 5$ = passo 3: x²

Passo 5 — Relacionar os lados do retângulo com o lado do quadrado

Precisamos de mais uma relação entre a e b. Observando a figura, o lado do quadrado grande é a soma do maior lado do retângulo com o menor lado (a + b), e também é a soma do maior lado com o lado do quadrado central (a + x). Isso dá duas equações.

Por que esta fórmula: Na decomposição, o lado do quadrado grande pode ser decomposto de duas maneiras: L = a + b e L = a + x. Igualando, obtemos b = x.

De onde vem cada valor: $L$ = passo 1: 15 cm · $a$ = definição: maior lado do retângulo · $b$ = definição: menor lado do retângulo · $x$ = definição: lado do quadrado central

Passo 6 — Montar sistema com a + b = 15 e b = x

Com b = x, podemos substituir na equação L = a + b = 15, mas ainda precisamos de outra relação. Na verdade, da figura também temos L = b + x + b? Não, vamos usar a relação correta: o lado do quadrado grande é a + b, e também é b + x + b? Vamos verificar: na configuração típica, o quadrado central está no meio, e os retângulos estão ao redor. O lado do quadrado grande é a + b, e também é a + x. Como b = x, temos a + b = 15 e a + b = 15, o que não dá nova informação. Precisamos de outra relação: a área total também pode ser expressa como (a + b)² = 225, mas isso já sabemos. Na verdade, a relação correta é que o lado do quadrado grande é a + b, e também é b + x + b? Não, vamos pensar: se os retângulos são dispostos com o lado a na horizontal e b na vertical, o quadrado central tem lado x, então o lado do quadrado grande é a + b (um retângulo na horizontal e outro na vertical). Mas também é a + x (um retângulo na horizontal e o quadrado central). Como b = x, isso é consistente. Precisamos de outra equação: a área total também é (a + b)² = 225, mas isso é o mesmo que L². Na verdade, temos ab = 44 e a + b = 15. Isso é suficiente para achar a e b.

Por que esta fórmula: Temos o produto ab = 44 e a soma a + b = 15. Essas duas equações definem a e b como raízes de uma equação do segundo grau.

De onde vem cada valor: $a + b$ = passo 5: L = a + b · $ab$ = passo 4: 44 cm²

Passo 7 — Resolver o sistema para achar a e b

Com a soma e o produto, podemos achar os valores de a e b. A diferença entre eles é o que a questão pede.

Por que esta fórmula: Se a + b = S e ab = P, então a e b são as raízes de t² - St + P = 0. Mas podemos achar a diferença diretamente: (a - b)² = (a + b)² - 4ab.

De onde vem cada valor: $a + b$ = passo 6: 15 · $ab$ = passo 4: 44

Resposta: a diferença entre o maior e o menor lado é 7 cm — alternativa A