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Questão de Matemática — Álgebra Linear — VUNESP 2024

MatemáticaÁlgebra Linear
Código
vu090591
Banca
VUNESP
Órgão
SAAE de Aparecida - SP
Ano
2024
Nível
Médio
Em uma sala de aula, o número de meninas excede o número de meninos em 3. O produto do número de meninos pela quarta parte do número de meninas é igual a 52.O número total de alunos nessa sala é
  1. A25.
  2. B27.
  3. C29.
  4. D31.
  5. E33.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 29.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 29 alunos (alternativa C).

A ideia por trás

Este problema envolve um sistema de equações com uma equação do 2º grau. A primeira informação relaciona as quantidades por uma diferença, e a segunda por um produto. Para resolver, transformamos o texto em equações, substituímos uma na outra e resolvemos a equação quadrática resultante. A raiz negativa é descartada, pois número de pessoas não pode ser negativo.

O que a questão dá

  • meninas = meninos + 3

  • meninos × (meninas / 4) = 52

O que queremos: o número total de alunos na sala

Passo 1 — Definir as variáveis

Precisamos nomear as quantidades desconhecidas para transformar o texto em equações. Vamos usar m para meninos e g para meninas.

NÃO CAIA NESSA!

Usar letras confusas ou não definir claramente o que cada uma representa.

Passo 2 — Traduzir a primeira frase

A frase 'o número de meninas excede o número de meninos em 3' significa que as meninas são 3 a mais que os meninos. Isso vira uma equação de igualdade.

Por que esta fórmula: A relação de 'exceder em' é uma soma: meninas = meninos + 3.

g=m+3g = m + 3

De onde vem cada valor: gg = enunciado: número de meninas · mm = passo 1: número de meninos

NÃO CAIA NESSA!

Inverter a ordem: escrever m = g + 3, o que daria meninos a mais.

Passo 3 — Traduzir a segunda frase

A segunda informação envolve o produto do número de meninos pela quarta parte do número de meninas. Isso é uma multiplicação que deve ser igual a 52.

Por que esta fórmula: A frase 'produto de ... pela quarta parte de ...' indica multiplicação: m × (g/4) = 52.

m⋅g4=52m \cdot \frac{g}{4} = 52

De onde vem cada valor: mm = passo 1: número de meninos · gg = passo 1: número de meninas

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer a divisão por 4, escrevendo m·g = 52.

Passo 4 — Substituir g na segunda equação

Temos duas equações com duas incógnitas. Para resolver, substituímos a expressão de g da primeira equação na segunda, ficando só com m.

Por que esta fórmula: Substituição é o método mais direto quando uma equação já está isolada para uma variável.

m⋅m+34=52m \cdot \frac{m+3}{4} = 52

De onde vem cada valor: mm = passo 1: número de meninos · m+3m+3 = passo 2: g = m + 3

m⋅m+34=52m \cdot \frac{m+3}{4} = 52
NÃO CAIA NESSA!

Errar a substituição, por exemplo, colocando m+3 no denominador.

Passo 5 — Eliminar o denominador

A equação tem uma fração. Para facilitar, multiplicamos ambos os lados por 4, eliminando o denominador.

Por que esta fórmula: Multiplicar por 4 é válido pois é uma operação que mantém a igualdade.

m(m+3)=208m(m+3) = 208

De onde vem cada valor: m(m+3)m(m+3) = passo 4: m · (m+3)/4 = 52, multiplicado por 4 · 208208 = passo 4: 52 × 4

m(m+3)=208m(m+3) = 208
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar o 52 também, resultando em m(m+3)=52.

Passo 6 — Expandir e reorganizar a equação

Precisamos deixar a equação na forma padrão ax²+bx+c=0 para aplicar a fórmula de Bhaskara.

Por que esta fórmula: A equação é do 2º grau, então a forma geral é m² + 3m - 208 = 0.

m2+3m−208=0m^{2} + 3m - 208 = 0

De onde vem cada valor: m2m^{2} = passo 5: m·m · 3m3m = passo 5: m·3 · −208-208 = passo 5: 208 movido para o lado esquerdo

m2+3m−208=0m^{2} + 3m - 208 = 0
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao passar o 208 para o outro lado.

Passo 7 — Calcular o discriminante

Para resolver a equação do 2º grau, precisamos do discriminante Δ = b² - 4ac, que indica quantas raízes reais existem.

Por que esta fórmula: A fórmula de Bhaskara usa Δ para achar as raízes.

Δ=b2−4ac\Delta = b^{2} - 4ac

De onde vem cada valor: bb = passo 6: coeficiente de m, que é 3 · aa = passo 6: coeficiente de m², que é 1 · cc = passo 6: termo constante, -208

Δ=32−4⋅1⋅(−208)=9+832=841=841\Delta = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-208) = 9 + 832 = 841 = \boxed{841}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal de c, resultando em 9 - 832 = -823.

Passo 8 — Aplicar Bhaskara e achar m

Com o discriminante, usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de m.

Por que esta fórmula: A fórmula é m = (-b ± √Δ) / (2a).

m=−b±Δ2am = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

De onde vem cada valor: bb = passo 6: 3 · Δ\Delta = passo 7: 841 · aa = passo 6: 1

m=−3±8412=−3±292m = \frac{-3 \pm \sqrt{841}}{2} = \frac{-3 \pm 29}{2}

m = 13 ou m = -16

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer a raiz negativa ou descartar a positiva.

Passo 9 — Descartar a raiz negativa

Número de meninos não pode ser negativo, então m = -16 é impossível. Ficamos com m = 13.

m=13m = \boxed{13}
NÃO CAIA NESSA!

Considerar a raiz negativa como válida, o que daria um total absurdo.

Passo 10 — Calcular o número de meninas

Com m conhecido, usamos a primeira equação para achar g.

Por que esta fórmula: Da equação g = m + 3, substituímos m.

g=m+3g = m + 3

De onde vem cada valor: mm = passo 9: 13

g=13+3=16g = 13 + 3 = 16
g=16g = \boxed{16}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a raiz negativa, resultando em g = -13.

Passo 11 — Somar meninos e meninas

O total de alunos é a soma dos meninos e meninas.

Por que esta fórmula: Total = m + g.

T=m+gT = m + g

De onde vem cada valor: mm = passo 9: 13 · gg = passo 10: 16

T=13+16=29=29T = 13 + 16 = 29 = \boxed{29}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar, ou somar errado.

Resposta: 29 alunos (alternativa C)

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