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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2024

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
vu090637
Banca
VUNESP
Órgão
Spcine - SP
Ano
2024
Nível
Superior
Uma herança foi distribuída entre dois herdeiros, de maneira que cada um deles recebeu, do total distribuído, uma parte diretamente proporcional à sua idade. Sabe-se que o valor total da herança que foi distribuída entre eles é de R$ 260.000,00, que a soma das idades dos herdeiros é 78 anos, e que o herdeiro mais velho recebeu R$ 140.000,00 de herança. Na situação descrita, a idade do herdeiro mais novo, em anos, é igual a
  1. A36.
  2. B35.
  3. C34.
  4. D33.
  5. E32.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 36.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 36 anos (alternativa A).

A ideia por trás

Quando duas grandezas são diretamente proporcionais, a razão entre elas é constante. Neste problema, a parte da herança recebida por cada herdeiro é diretamente proporcional à sua idade, ou seja, a razão entre o valor recebido e a idade é a mesma para todos. Isso significa que, se um herdeiro recebe uma fração do total, sua idade é a mesma fração da soma das idades. A unidade de medida da idade é anos, e a parte recebida é em reais, mas a proporção permite comparar frações. A relação que governa é: parte recebida / idade = constante. Se a parte aumenta, a idade aumenta na mesma proporção. Nesta questão, precisamos descobrir a idade do mais novo, usando a fração que o mais velho recebeu do total para achar a idade dele e depois subtrair da soma.

O que a questão dá

  • total da herança = R$ 260.000,00

  • soma das idades = 78 anos

  • parte do mais velho = R$ 140.000,00

O que queremos: a idade do herdeiro mais novo

Passo 1 — Calcular a parte do mais novo

Para usar a proporção, precisamos saber quanto cada um recebeu. O total é a soma das partes, então a parte do mais novo é o total menos a parte do mais velho.

Por que esta fórmula: A parte do mais novo é a diferença entre o total e a parte do mais velho, pois a herança foi dividida entre dois herdeiros.

Pnovo=Ptotal−PvelhoP_{novo} = P_{total} - P_{velho}

De onde vem cada valor: PtotalP_{total} = enunciado: R$ 260.000,00 · PvelhoP_{velho} = enunciado: R$ 140.000,00

Pnovo=260000−140000P_{novo} = 260000 - 140000

PnovoP_{novo} = R$ 120.000,00

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair e usar o total como parte do mais novo.

Passo 2 — Montar a proporção entre parte e idade

Como a divisão é diretamente proporcional, a razão entre a parte recebida e a idade é a mesma para os dois herdeiros. Isso nos permite relacionar as partes com as idades.

Por que esta fórmula: A definição de grandezas diretamente proporcionais: a razão entre os valores correspondentes é constante. Aqui, parte/idade = k.

Pnovox=Pvelhoy\frac{P_{novo}}{x} = \frac{P_{velho}}{y}

De onde vem cada valor: PnovoP_{novo} = passo 1: R$ 120.000,00 · PvelhoP_{velho} = enunciado: R$ 140.000,00 · xx = idade do mais novo (incógnita) · yy = idade do mais velho (incógnita)

120000x=140000y\frac{120000}{x} = \frac{140000}{y}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a ordem das razões, colocando idade/parte.

Passo 3 — Usar a soma das idades na proporção

Temos duas incógnitas (x e y) e uma equação, mas também sabemos que x + y = 78. A propriedade da soma dos antecedentes e consequentes permite juntar as duas informações em uma só razão.

Por que esta fórmula: Se duas razões são iguais, a razão entre a soma dos numeradores e a soma dos denominadores também é igual. Isso é uma propriedade das proporções.

Pnovo+Pvelhox+y=Pvelhoy\frac{P_{novo} + P_{velho}}{x + y} = \frac{P_{velho}}{y}

De onde vem cada valor: Pnovo+PvelhoP_{novo} + P_{velho} = passo 1 e enunciado: 120000 + 140000 = 260000 · x+yx + y = enunciado: 78 · PvelhoP_{velho} = enunciado: 140000 · yy = idade do mais velho

26000078=140000y\frac{260000}{78} = \frac{140000}{y}
NÃO CAIA NESSA!

Não aplicar a propriedade da soma e tentar resolver com duas equações separadas.

Passo 4 — Calcular a idade do mais velho

Agora temos uma equação com uma única incógnita (y). Isolando y, descobrimos a idade do mais velho.

Por que esta fórmula: Multiplicando cruzado para resolver a proporção: a/b = c/d implica ad = bc.

y=140000×78260000y = \frac{140000 \times 78}{260000}

De onde vem cada valor: 140000140000 = enunciado: parte do mais velho · 7878 = enunciado: soma das idades · 260000260000 = enunciado: total da herança

y=140000×78260000=42 anosy = \frac{140000 \times 78}{260000} = \boxed{42\ \text{anos}}
NÃO CAIA NESSA!

Trocar os números na multiplicação cruzada, resultando em y = 260000*78/140000, que dá um valor absurdo.

Passo 5 — Subtrair a idade do mais velho da soma

A soma das idades é 78, e já sabemos a idade do mais velho. A idade do mais novo é a diferença.

Por que esta fórmula: A soma das idades é x + y = 78, então x = 78 - y.

x=78−yx = 78 - y

De onde vem cada valor: 7878 = enunciado: soma das idades · yy = passo 4: 42 anos

x=78−42=36 anosx = 78 - 42 = \boxed{36\ \text{anos}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir e subtrair a parte do mais novo em vez da idade, ou esquecer de subtrair.

Resposta: 36 anos (alternativa A)

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