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Questão de Matemática — Relações Métricas no Triângulo Retângulo — VUNESP 2024

MatemáticaRelações Métricas no Triângulo Retângulo
Código
vu090641
Banca
VUNESP
Órgão
Spcine - SP
Ano
2024
Nível
Superior
O maior cateto de um triângulo retângulo mede o dobro da medida do menor cateto, sendo ambas medidas em centímetros. Aumentando-se o comprimento do menor cateto em 2 cm e diminuindo-se a medida do maior cateto em 1 cm, a medida do quadrado da hipotenusa do novo triângulo retângulo vai superar a medida do quadrado da hipotenusa do retângulo original em
  1. A3,5 cm² .
  2. B4 cm² .
  3. C4,5 cm² .
  4. D5 cm² .
  5. E5,5 cm² .
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 5 cm² .

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 5 cm² (alternativa D).

A ideia por trás

O Teorema de Pitágoras relaciona os catetos e a hipotenusa de um triângulo retângulo: o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Essa relação vale para qualquer triângulo retângulo, e é a base para calcular a hipotenusa quando conhecemos os catetos. Nesta questão, os catetos são expressos em função de uma incógnita x, e as alterações nos catetos mudam a hipotenusa. O que se pede é a diferença entre os quadrados das hipotenusas, que pode ser calculada algebricamente sem precisar saber o valor de x.

O que a questão dá

  • menor cateto = x cm

  • maior cateto = 2x cm

  • novo menor cateto = x + 2 cm

  • novo maior cateto = 2x - 1 cm

O que queremos: a diferença entre o quadrado da hipotenusa do novo triângulo e o quadrado da hipotenusa do triângulo original

Passo 1 — Expressar os catetos em função de x

Precisamos de uma representação algébrica para os catetos, pois o problema não dá valores numéricos. Chamar o menor cateto de x e o maior de 2x permite montar as expressões para as hipotenusas.

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que o maior cateto é o dobro do menor, usando x e x em vez de x e 2x.

Passo 2 — Calcular o quadrado da hipotenusa original

Pelo Teorema de Pitágoras, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Com os catetos x e 2x, obtemos a expressão para h1².

Por que esta fórmula: O Teorema de Pitágoras é a relação fundamental do triângulo retângulo: a² = b² + c². Aqui, a é a hipotenusa e b, c são os catetos.

h12=x2+(2x)2h_1^{2} = x^{2} + (2x)^{2}

De onde vem cada valor: xx = passo 1: menor cateto · 2x2x = passo 1: maior cateto

h12=x2+4x2h_1^{2} = x^{2} + 4x^{2}
h12=5 x2h_1^{2} = \boxed{5\ \text{x}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a potência: (2x)^2 = 4x^2, não 2x^2.

Passo 3 — Calcular o quadrado da nova hipotenusa

Com os novos catetos (x+2) e (2x-1), aplicamos novamente Pitágoras para obter h2².

Por que esta fórmula: A nova hipotenusa também segue o Teorema de Pitágoras, pois o triângulo continua retângulo.

h22=(x+2)2+(2x−1)2h_2^{2} = (x+2)^{2} + (2x-1)^{2}

De onde vem cada valor: x+2x+2 = enunciado: menor cateto aumentado em 2 cm · 2x−12x-1 = enunciado: maior cateto diminuído em 1 cm

h22=(x+2)2+(2x−1)2h_2^{2} = (x+2)^{2} + (2x-1)^{2}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a expansão dos quadrados, como esquecer o termo do meio.

Passo 4 — Expandir os quadrados

Para simplificar a expressão de h2², precisamos expandir os binômios (x+2)² e (2x-1)².

Por que esta fórmula: Usamos os produtos notáveis: (a+b)² = a² + 2ab + b² e (a-b)² = a² - 2ab + b².

(x+2)2=x2+4x+4,(2x−1)2=4x2−4x+1(x+2)^{2} = x^{2} + 4x + 4, (2x-1)^{2} = 4x^{2} - 4x + 1

De onde vem cada valor: xx = passo 1 · 22 = enunciado: aumento de 2 cm · 2x2x = passo 1 · 11 = enunciado: diminuição de 1 cm

(x+2)2=x2+4x+4,(2x−1)2=4x2−4x+1(x+2)^{2} = x^{2} + 4x + 4, (2x-1)^{2} = 4x^{2} - 4x + 1
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal do termo do meio em (2x-1)²: deve ser -4x, não +4x.

Passo 5 — Somar os termos para obter h2²

Com as expansões, somamos os termos semelhantes para simplificar h2².

Por que esta fórmula: A soma dos quadrados dos catetos dá o quadrado da hipotenusa.

h22=(x2+4x+4)+(4x2−4x+1)h_2^{2} = (x^{2} + 4x + 4) + (4x^{2} - 4x + 1)

De onde vem cada valor: x2+4x+4x^{2} + 4x + 4 = passo 4: expansão de (x+2)^2 · 4x2−4x+14x^{2} - 4x + 1 = passo 4: expansão de (2x-1)^2

h22=x2+4x+4+4x2−4x+1h_2^{2} = x^{2} + 4x + 4 + 4x^{2} - 4x + 1
h22=5 x2+5h_2^{2} = \boxed{5\ \text{x}^{2} + 5}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar as constantes 4 e 1, ou errar a soma dos termos com x.

Passo 6 — Subtrair os quadrados das hipotenusas

A questão pede a diferença entre os quadrados das hipotenusas. Subtraímos h1² de h2².

Por que esta fórmula: A diferença é simplesmente h2² - h1², pois queremos o quanto o novo quadrado supera o original.

Δ=h22−h12\Delta = h_2^{2} - h_1^{2}

De onde vem cada valor: h22h_2^{2} = passo 5: 5x^2 + 5 · h12h_1^{2} = passo 2: 5x^2

Δ=(5x2+5)−5x2\Delta = (5x^{2} + 5) - 5x^{2}
Δ=5\Delta = \boxed{5}
NÃO CAIA NESSA!

Tentar encontrar o valor de x, mas a diferença é constante e independe de x.

Resposta: 5 cm² (alternativa D)

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