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Questão de Matemática — Poliedros — VUNESP 2024

MatemáticaPoliedros
Código
vu090645
Banca
VUNESP
Órgão
Spcine - SP
Ano
2024
Nível
Superior
Para pintar cada 1 cm² das faces de um cubo de volume 1331 cm³ , com uma tinta especial, gasta-se R$ 0,20. O gasto para pintar todas as faces desse cubo é de
  1. AR$ 96,80.
  2. BR$ 121,00.
  3. CR$ 145,20.
  4. DR$ 152,20.
  5. ER$ 158,70.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — R$ 145,20.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a R$ 145,20 (alternativa C).

A ideia por trás

O cubo é um poliedro regular com seis faces quadradas congruentes. Se a aresta mede a, o volume é V = a³ e a área total da superfície é A_total = 6a². O volume mede o espaço ocupado pelo cubo, enquanto a área total mede a superfície externa que será pintada. Para achar a área, primeiro precisamos da aresta, que sai da raiz cúbica do volume. Depois, multiplicamos a área total pelo custo por cm². Nesta questão, o volume é um cubo perfeito (11³), então a aresta é 11 cm; o passo crítico é não esquecer de multiplicar a área de uma face por 6.

O que a questão dá

  • volume do cubo = 1331 cm³

  • custo da tinta = R$ 0,20 por cm²

O que queremos: o gasto total para pintar todas as faces do cubo

Passo 1 — Descobrir a aresta do cubo

O volume do cubo é dado, mas para calcular a área das faces precisamos da medida da aresta. A aresta é a distância entre duas faces opostas, e todas as arestas de um cubo são iguais. A raiz cúbica do volume nos dá essa medida.

Por que esta fórmula: O volume de um cubo é o produto das três dimensões iguais: V = a · a · a = a³. Para isolar a aresta, aplicamos a raiz cúbica nos dois lados.

a=V3a = \sqrt[3]{V}

De onde vem cada valor: VV = enunciado: 1331 cm³

a=13313=11 cma = \sqrt[3]{1331} = \boxed{11\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a raiz cúbica, por exemplo achar que é 12 (pois 12³ = 1728).

Passo 2 — Calcular a área de uma face

Cada face do cubo é um quadrado. Para saber quanto de tinta será gasta, precisamos da área de uma face, que é o quadrado da aresta.

Por que esta fórmula: A área de um quadrado é lado × lado. Como o lado é a aresta a, a área da face é a².

Aface=a2A_{face} = a^{2}

De onde vem cada valor: aa = passo 1: 11 cm

Aface=112=121 cm2A_{face} = 11^{2} = \boxed{121\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar ao quadrado e usar 11 cm como área.

Passo 3 — Calcular a área total das seis faces

O cubo tem seis faces iguais, e a tinta cobre todas elas. Por isso, multiplicamos a área de uma face por 6.

Por que esta fórmula: A área total da superfície de um cubo é a soma das áreas das seis faces congruentes: A_total = 6 · A_face.

Atotal=6⋅AfaceA_{total} = 6 \cdot A_{face}

De onde vem cada valor: 66 = número de faces do cubo · AfaceA_{face} = passo 2: 121 cm²

Atotal=6⋅121=726 cm2A_{total} = 6 \cdot 121 = \boxed{726\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 6 e usar apenas a área de uma face.

Passo 4 — Calcular o custo total da pintura

O custo é proporcional à área pintada: cada cm² custa R$ 0,20. Multiplicando a área total pelo custo unitário, obtemos o gasto final.

Por que esta fórmula: O custo total é o produto da área total pelo preço por unidade de área: Custo = A_total × preço.

Custo=Atotal×0,20Custo = A_{total} \times 0{,}20

De onde vem cada valor: AtotalA_{total} = passo 3: 726 cm² · 0,200{,}20 = enunciado: R$ 0,20 por cm²

Custo=726×0,20Custo = 726 \times 0{,}20

CustoCusto = R$ 145,20

NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar 726 por 2 em vez de 0,20, achando R$ 1452,00.

Resposta: R$ 145,20 (alternativa C)

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