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Questão de Matemática — Problemas — VUNESP 2024

MatemáticaProblemas
Código
vu090664
Banca
VUNESP
Órgão
Spcine - SP
Ano
2024
Nível
Superior
Juliana praticou caminhada em quatro dias. A cada novo dia, Juliana caminhava o equivalente ao tempo gasto no dia anterior acrescido da terça parte desse tempo.No quarto dia, Juliana caminhou 64 minutos. É correto afirmar que o tempo total gasto nas caminhadas do primeiro e do segundo dia supera o tempo gasto na caminhada do terceiro dia em
  1. A15 minutos.
  2. B16 minutos.
  3. C18 minutos.
  4. D20 minutos.
  5. E21 minutos.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 15 minutos.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 15 minutos (alternativa A).

A ideia por trás

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante chamada razão. Aqui, 'acrescido da terça parte' significa somar 1/3 do valor, o que equivale a multiplicar por 1 + 1/3 = 4/3. Assim, os tempos formam uma PG de razão 4/3. Para achar termos anteriores, dividimos por 4/3 (ou multiplicamos por 3/4). Nesta questão, partimos do 4º dia e voltamos para encontrar os anteriores.

O que a questão dá

  • 4º dia = 64 minutos

  • cada dia = anterior + terça parte do anterior

O que queremos: quanto (1º dia + 2º dia) supera o 3º dia

Passo 1 — Descobrir a razão da sequência

Precisamos saber como os tempos se relacionam. 'Acrescido da terça parte' significa somar 1/3 do valor anterior, o que é o mesmo que multiplicar por 1 + 1/3 = 4/3. Essa é a razão da progressão geométrica.

Por que esta fórmula: A razão q é o fator constante que multiplica cada termo para obter o próximo. Como o acréscimo é 1/3 do valor, o novo valor é 1 + 1/3 = 4/3 do anterior.

q=1+13=43q = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}

De onde vem cada valor: 11 = enunciado: terça parte do tempo · 13\frac{1}{3} = enunciado: terça parte

q=1+13=43q = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}
q=4 /3q = \boxed{4\ /3}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que a razão é 1/3, mas ela é 4/3, pois o tempo aumenta.

Passo 2 — Calcular o tempo do terceiro dia

Conhecemos o 4º dia (64 min) e a razão (4/3). Para voltar um dia, dividimos por 4/3, o que equivale a multiplicar por 3/4.

Por que esta fórmula: Em uma PG, o termo anterior é o atual dividido pela razão: a_{n-1} = a_n / q.

a3=a4×34a_3 = a_4 \times \frac{3}{4}

De onde vem cada valor: a4a_4 = enunciado: 64 minutos · 34\frac{3}{4} = passo 1: inverso da razão 4/3

a3=64×34=48=48 minutosa_3 = 64 \times \frac{3}{4} = 48 = \boxed{48\ \text{minutos}}
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar por 4/3 em vez de 3/4, o que daria um valor maior que 64.

Passo 3 — Calcular o tempo do segundo dia

Agora temos o 3º dia (48 min) e precisamos do 2º dia, então repetimos o processo de voltar um termo.

Por que esta fórmula: Mesma lógica: a_2 = a_3 / q = a_3 × 3/4.

a2=a3×34a_2 = a_3 \times \frac{3}{4}

De onde vem cada valor: a3a_3 = passo 2: 48 minutos · 34\frac{3}{4} = passo 1: inverso da razão

a2=48×34=36=36 minutosa_2 = 48 \times \frac{3}{4} = 36 = \boxed{36\ \text{minutos}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir pela razão e subtrair um valor fixo, o que não é PG.

Passo 4 — Calcular o tempo do primeiro dia

Precisamos do 1º dia para somar com o 2º. Continuamos voltando na sequência.

Por que esta fórmula: a_1 = a_2 / q = a_2 × 3/4.

a1=a2×34a_1 = a_2 \times \frac{3}{4}

De onde vem cada valor: a2a_2 = passo 3: 36 minutos · 34\frac{3}{4} = passo 1: inverso da razão

a1=36×34=27=27 minutosa_1 = 36 \times \frac{3}{4} = 27 = \boxed{27\ \text{minutos}}
NÃO CAIA NESSA!

Parar no 2º dia e não calcular o 1º, pois a pergunta envolve o 1º dia.

Passo 5 — Somar os tempos do primeiro e segundo dia

O enunciado pede a soma dos dois primeiros dias, então precisamos somá-los.

Por que esta fórmula: Soma direta dos valores obtidos.

S=a1+a2S = a_1 + a_2

De onde vem cada valor: a1a_1 = passo 4: 27 minutos · a2a_2 = passo 3: 36 minutos

S=27+36=63=63 minutosS = 27 + 36 = 63 = \boxed{63\ \text{minutos}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar apenas dois dias, mas esquecer de incluir o 1º dia.

Passo 6 — Subtrair o tempo do terceiro dia

A pergunta é 'quanto supera', ou seja, a diferença entre a soma e o 3º dia.

Por que esta fórmula: Diferença = soma - a_3.

D=S−a3D = S - a_3

De onde vem cada valor: SS = passo 5: 63 minutos · a3a_3 = passo 2: 48 minutos

D=63−48=15=15 minutosD = 63 - 48 = 15 = \boxed{15\ \text{minutos}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair na ordem errada (48 - 63), o que daria negativo.

Resposta: 15 minutos (alternativa A)

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