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Questão de Matemática — Frações e Números Decimais — VUNESP 2024

MatemáticaFrações e Números Decimais
Código
vu090676
Banca
VUNESP
Órgão
UNESP
Ano
2024
Nível
Superior
Saí de casa com uma quantia no bolso. Gastei 1/5 do dinheiro que tinha comprando laranjas. Em seguida, comprei ovos gastando 1/7 do que havia restado. Já com tomates, gastei 1/6 do que havia sobrado após a compra dos ovos. Para terminar, comprei R$ 30,00 de mangas e ainda me sobraram 2/11 do dinheiro que tinha no início.Dessa maneira, é correto afirmar que gastei com as laranjas a mais do que gastei com os tomates a quantia de
  1. AR$ 5,20.
  2. BR$ 6,60.
  3. CR$ 6,90.
  4. DR$ 7,10.
  5. ER$ 7,80.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — R$ 6,60.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a R$ 6,60 (alternativa B).

A ideia por trás

Este problema trata de frações de frações: quando se gasta uma fração do que sobrou, a fração incide sobre o restante, não sobre o total inicial. Por isso, é preciso acompanhar o que sobra após cada gasto, expressando tudo em função do valor inicial x. A relação central é que o resto final (2/11 de x) é igual ao que sobrou após todos os gastos, o que permite montar uma equação e descobrir x. Nesta questão, usamos essa equação para achar o valor inicial e depois comparar os gastos com laranjas e tomates.

O que a questão dá

  • gasto com laranjas = 1/5 do total inicial

  • gasto com ovos = 1/7 do que restou após as laranjas

  • gasto com tomates = 1/6 do que restou após os ovos

  • gasto com mangas = R$ 30,00

  • resto final = 2/11 do total inicial

O que queremos: a diferença entre o gasto com laranjas e o gasto com tomates

Passo 1 — Expressar o resto após as laranjas

Para trabalhar com frações de frações, precisamos saber quanto sobrou após cada gasto, pois o próximo gasto incide sobre esse resto. Após gastar 1/5, sobra 4/5 do total.

Por que esta fórmula: Se gastou 1/5, o restante é o que não foi gasto: 1 - 1/5 = 4/5.

Rlaranjas=(1−15)⋅x=45xR_{laranjas} = \left(1 - \frac{1}{5}\right) \cdot x = \frac{4}{5}x

De onde vem cada valor: xx = enunciado: quantia inicial (desconhecida) · 15\frac{1}{5} = enunciado: gasto com laranjas

Rlaranjas=45x=45xR_{laranjas} = \frac{4}{5}x = \boxed{\frac{4}{5}x}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que o resto é 1/5, confundindo gasto com resto.

Passo 2 — Calcular o gasto com ovos

O gasto com ovos é 1/7 do que sobrou após as laranjas, então precisamos multiplicar a fração pelo resto anterior.

Por que esta fórmula: Gasto com ovos = fração do resto: (1/7) * (4/5)x.

Govos=17⋅45x=435xG_{ovos} = \frac{1}{7} \cdot \frac{4}{5}x = \frac{4}{35}x

De onde vem cada valor: 17\frac{1}{7} = enunciado: gasto com ovos · 45x\frac{4}{5}x = passo 1: resto após laranjas

Govos=17⋅45x=435xG_{ovos} = \frac{1}{7} \cdot \frac{4}{5}x = \boxed{\frac{4}{35}x}
NÃO CAIA NESSA!

Aplicar 1/7 sobre o total x, em vez de sobre o resto.

Passo 3 — Calcular o resto após os ovos

Precisamos do resto após os ovos para calcular o gasto com tomates, que incide sobre esse valor.

Por que esta fórmula: O resto é o que sobrou das laranjas menos o gasto com ovos: (4/5)x - (4/35)x. Como 4/5 = 28/35, subtraímos: (28/35 - 4/35)x = 24/35x.

Rovos=45x−435x=2435xR_{ovos} = \frac{4}{5}x - \frac{4}{35}x = \frac{24}{35}x

De onde vem cada valor: 45x\frac{4}{5}x = passo 1: resto após laranjas · 435x\frac{4}{35}x = passo 2: gasto com ovos

Rovos=45x−435x=2435xR_{ovos} = \frac{4}{5}x - \frac{4}{35}x = \boxed{\frac{24}{35}x}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair as frações sem igualar os denominadores.

Passo 4 — Calcular o gasto com tomates

O gasto com tomates é 1/6 do resto após os ovos, então multiplicamos a fração pelo resto anterior.

Por que esta fórmula: Gasto com tomates = (1/6) * (24/35)x.

Gtomates=16⋅2435x=435xG_{tomates} = \frac{1}{6} \cdot \frac{24}{35}x = \frac{4}{35}x

De onde vem cada valor: 16\frac{1}{6} = enunciado: gasto com tomates · 2435x\frac{24}{35}x = passo 3: resto após ovos

Gtomates=16⋅2435x=435xG_{tomates} = \frac{1}{6} \cdot \frac{24}{35}x = \boxed{\frac{4}{35}x}
NÃO CAIA NESSA!

Aplicar 1/6 sobre o total x, em vez de sobre o resto.

Passo 5 — Calcular o resto após os tomates

Precisamos do resto após os tomates para relacionar com o gasto das mangas e o resto final.

Por que esta fórmula: O resto é o que sobrou dos ovos menos o gasto com tomates: (24/35)x - (4/35)x = 20/35x = 4/7x.

Rtomates=2435x−435x=2035x=47xR_{tomates} = \frac{24}{35}x - \frac{4}{35}x = \frac{20}{35}x = \frac{4}{7}x

De onde vem cada valor: 2435x\frac{24}{35}x = passo 3: resto após ovos · 435x\frac{4}{35}x = passo 4: gasto com tomates

Rtomates=2435x−435x=47xR_{tomates} = \frac{24}{35}x - \frac{4}{35}x = \boxed{\frac{4}{7}x}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de simplificar a fração 20/35 para 4/7.

Passo 6 — Montar a equação do resto final

Após gastar R$ 30,00 com mangas, o que sobrou é 2/11 do total. Isso nos dá uma equação para achar x.

Por que esta fórmula: O resto após as mangas é o resto após os tomates menos 30, e isso é igual a 2/11 de x.

47x−30=211x\frac{4}{7}x - 30 = \frac{2}{11}x

De onde vem cada valor: 47x\frac{4}{7}x = passo 5: resto após tomates · 3030 = enunciado: gasto com mangas · 211x\frac{2}{11}x = enunciado: resto final

47x−30=211x\frac{4}{7}x - 30 = \frac{2}{11}x
NÃO CAIA NESSA!

Montar a equação como 4/7x + 30 = 2/11x, invertendo a operação.

Passo 7 — Resolver a equação para achar x

Com a equação montada, isolamos x para descobrir a quantia inicial.

Por que esta fórmula: Subtraímos 2/11x dos dois lados e somamos 30, depois igualamos os denominadores para resolver.

47x−211x=30⇒44−1477x=30⇒3077x=30⇒x=77\frac{4}{7}x - \frac{2}{11}x = 30 \Rightarrow \frac{44 - 14}{77}x = 30 \Rightarrow \frac{30}{77}x = 30 \Rightarrow x = 77

De onde vem cada valor: 47x\frac{4}{7}x = passo 6 · 211x\frac{2}{11}x = passo 6 · 3030 = passo 6

3077x=30\frac{30}{77}x = 30
x=77x = \boxed{77}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o MMC de 7 e 11, que é 77.

Passo 8 — Calcular a diferença entre laranjas e tomates

Com o valor de x, calculamos os gastos com laranjas e tomates e subtraímos para obter a resposta.

Por que esta fórmula: Gasto com laranjas = (1/5)77 = 15,40; gasto com tomates = (4/35)77 = 8,80; diferença = 15,40 - 8,80.

Dif=15x−435xDif = \frac{1}{5}x - \frac{4}{35}x

De onde vem cada valor: 15x\frac{1}{5}x = passo 1: gasto com laranjas · 435x\frac{4}{35}x = passo 4: gasto com tomates · xx = passo 7: 77

Dif=15⋅77−435⋅77=6,60Dif = \frac{1}{5} \cdot 77 - \frac{4}{35} \cdot 77 = \boxed{6{,}60}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o gasto com ovos em vez do gasto com tomates.

Resposta: R$ 6,60 (alternativa B)

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