Questão de Matemática — Progressão Aritmética - PA — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 9 (alternativa C).

A ideia por trás

Esta questão trata de sequências numéricas com padrão de incrementos, não de uma progressão aritmética comum. Em uma PA, a diferença entre termos consecutivos é constante; aqui, os incrementos variam ciclicamente: +1, +2, +3, +1, +2, +3, ... . Para achar a diferença entre dois termos distantes, não precisamos listar todos os termos: basta somar os incrementos que ocorrem entre as posições. Como o ciclo tem 3 incrementos, a soma de um ciclo completo é 1+2+3=6. Nesta questão, o intervalo de 5 passos (do 34º ao 39º) corresponde a um ciclo completo mais dois incrementos do próximo ciclo, totalizando 9.

O que a questão dá

• sequência: 1, 2, 4, 7, 8, 10, 13, 14, 16, 19, 20, 22, 25, ...

• padrão: incrementos +1, +2, +3 se repetem

• posições: 34º e 39º termos

O que queremos: a diferença entre o 39º e o 34º termo

Passo 1 — Identificar o padrão de incrementos

Para resolver a questão, precisamos entender como a sequência é formada. Observando as diferenças entre termos consecutivos, vemos que elas se repetem em um ciclo: +1, +2, +3, +1, +2, +3, ... . Esse ciclo é a chave para calcular diferenças entre termos distantes sem listar todos.

Passo 2 — Contar os passos entre as posições

A diferença entre o 39º e o 34º termo é a soma dos incrementos que ocorrem do 34º para o 39º. Do 34º para o 35º é 1 passo, do 35º para o 36º é outro, e assim por diante. Precisamos contar quantos passos há entre essas posições.

Por que esta fórmula: O número de passos entre duas posições é a diferença entre os índices: 39 - 34 = 5. Isso porque cada passo avança uma posição.

De onde vem cada valor: $39$ = enunciado: 39º termo · $34$ = enunciado: 34º termo

Passo 3 — Somar os incrementos do intervalo

Agora que sabemos que são 5 passos, precisamos somar os incrementos correspondentes. Como o ciclo é +1, +2, +3, os 5 passos cobrem um ciclo completo (1+2+3) mais os dois primeiros do próximo ciclo (1+2).

Por que esta fórmula: A soma dos incrementos é a diferença entre os termos. Como o padrão é cíclico, os incrementos seguem a ordem fixa: 1, 2, 3, 1, 2, ... . Para 5 passos, somamos os 5 primeiros incrementos do ciclo.

De onde vem cada valor: $1$ = passo 1: primeiro incremento do próximo ciclo · $2$ = passo 1: segundo incremento do próximo ciclo · $3$ = passo 1: terceiro incremento do ciclo

Resposta: 9 (alternativa C)