Matemática · VUNESP · 2024 | Questão sqc-vu090703

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 25/64 (alternativa E).

A ideia por trás

A probabilidade mede a chance de um evento acontecer, variando de 0 (impossível) a 1 (certo). Quando um evento é aleatório e todos os resultados são igualmente prováveis, a probabilidade é o número de casos favoráveis dividido pelo total de casos possíveis. Neste problema, o evento é Tadeu ser um dos 5 sorteados entre 8 jogadores.

Para eventos independentes — aqueles em que o resultado de um não afeta o outro — a probabilidade de ambos ocorrerem é o produto das probabilidades individuais. Aqui, cada sorteio é independente, pois o grupo de jogadores é o mesmo nas duas partidas. Se a probabilidade de Tadeu ser sorteado em uma partida é p, então a probabilidade de ser sorteado nas duas é p × p = p².

Nesta questão, precisamos calcular a probabilidade de Tadeu ser sorteado em uma partida (que é 5/8) e depois multiplicar por ela mesma, pois os sorteios são independentes. O foco está em reconhecer a independência e aplicar a regra do produto.

O que a questão dá

8 jogadores disponíveis
5 jogadores sorteados por partida
Tadeu é um dos jogadores
duas partidas consecutivas

O que queremos: a probabilidade de Tadeu ser sorteado nas duas partidas

Passo 1 — Calcular a chance de Tadeu em um sorteio

Precisamos saber a probabilidade de Tadeu ser escolhido em uma única partida, pois isso será a base para calcular a probabilidade das duas partidas. Em um sorteio justo, a chance de um jogador específico ser sorteado é a razão entre o número de vagas e o total de jogadores.

Por que esta fórmula: A probabilidade de um evento é o número de resultados favoráveis dividido pelo total de resultados possíveis. Aqui, favorável é Tadeu estar entre os 5 escolhidos, e o total é escolher 5 entre 8. Como cada jogador tem a mesma chance, a probabilidade é simplesmente 5/8.

P = \frac{\text{vagas}}{\text{total de jogadores}}

De onde vem cada valor: $\text{vagas}$ = enunciado: 5 jogadores sorteados · $\text{total de jogadores}$ = enunciado: 8 jogadores

P = \frac{5}{8} = \boxed{5\ /8}

NÃO CAIA NESSA!

Pensar que a probabilidade é 1/8 (um jogador entre oito), mas como são 5 vagas, a chance é maior.

Passo 2 — Multiplicar as chances das duas partidas

Como os sorteios são independentes, a probabilidade de Tadeu ser sorteado nas duas partidas é o produto das probabilidades de cada uma. Isso vem da regra do 'e' para eventos independentes: P(A e B) = P(A) × P(B).

Por que esta fórmula: A regra do produto se aplica porque o resultado do primeiro sorteio não influencia o segundo: o grupo de jogadores é o mesmo, e o sorteio é feito novamente do zero. Então multiplicamos as probabilidades.

P_{\text{duas}} = P \times P

De onde vem cada valor: $P$ = passo 1: 5/8

P_{\text{duas}} = \frac{5}{8} \times \frac{5}{8} = \boxed{25\ /64}

NÃO CAIA NESSA!

Somar as probabilidades (5/8 + 5/8 = 10/8) em vez de multiplicar, o que daria um valor maior que 1 e sem sentido.

Resposta: 25/64 (alternativa E)