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Questão de Matemática — MMC e MDC — VUNESP 2024

MatemáticaMMC e MDC
Código
vu090704
Banca
VUNESP
Órgão
UNIFESP
Ano
2024
Nível
Superior
Certo dia, foi feita uma gincana em uma escola, que teve início às 10 horas e terminou às 10 horas, 6 minutos e 35 segundos. Três apitos, A, B e C, soavam em intervalos de tempo regulares, iguais a 15, 20 e 25 segundos, respectivamente. Os alunos das turmas 7o A, 7o B e 7o C deveriam permanecer sentados, levantando-se apenas quando ouvissem o apito correspondente à própria turma, a saber, os apitos A, B e C, respectivamente. Os três apitos soaram, simultaneamente, às 10 horas.Então, o número de vezes em que alunos de apenas uma dessas turmas se levantaram é igual a:
  1. A42
  2. B35
  3. C26
  4. D19
  5. E15
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 35

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 35 vezes (alternativa B).

A ideia por trás

Este problema trata de múltiplos e divisores: cada apito soa nos múltiplos do seu intervalo (15, 20, 25 segundos). Quando dois ou três apitos soam juntos, isso ocorre nos múltiplos comuns dos intervalos, e o menor deles é o MMC. O MMC representa a próxima vez em que os eventos coincidem e o intervalo entre duas coincidências. Aqui, precisamos saber quantas vezes apenas um apito soa, ou seja, quantos múltiplos de 15, 20 ou 25 existem no intervalo de tempo que não são múltiplos de outro intervalo. A estratégia é contar os toques de cada apito e subtrair as coincidências, usando o MMC para identificar os instantes em que dois ou três apitos tocam juntos.

O que a questão dá

  • intervalo do apito A = 15 s

  • intervalo do apito B = 20 s

  • intervalo do apito C = 25 s

  • duração da gincana = 6 min 35 s = 395 s

O que queremos: o número de vezes em que apenas uma turma se levantou

Passo 1 — Converter o tempo total para segundos

Precisamos trabalhar com uma única unidade de tempo para comparar com os intervalos dos apitos, que estão em segundos. A gincana durou 6 minutos e 35 segundos; como cada minuto tem 60 segundos, convertemos para segundos somando 6×60 com 35.

Por que esta fórmula: A conversão de minutos para segundos é direta: 1 min = 60 s, então multiplicamos o número de minutos por 60 e somamos os segundos restantes.

T=6×60+35T = 6 \times 60 + 35

De onde vem cada valor: 66 = enunciado: 6 minutos · 6060 = fator de conversão: 1 min = 60 s · 3535 = enunciado: 35 segundos

T=6×60+35=360+35=395 sT = 6 \times 60 + 35 = 360 + 35 = \boxed{395\ \text{s}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de converter os minutos e usar 6,35 como se fosse 6,35 segundos, o que daria um valor muito pequeno.

Passo 2 — Calcular o MMC dos três intervalos

Para saber quando os três apitos soam juntos, precisamos do menor múltiplo comum entre 15, 20 e 25. Esse valor nos dá o intervalo entre as coincidências triplas, que será usado para excluir os instantes em que os três tocam juntos.

Por que esta fórmula: O MMC é o menor número que é múltiplo de todos os intervalos. Calculamos primeiro o MMC de 15 e 20, que é 60, e depois o MMC de 60 com 25, que é 300. Isso porque 300 é o menor número divisível por 15, 20 e 25.

MMC(15,20,25)=300MMC(15, 20, 25) = 300

De onde vem cada valor: 1515 = enunciado: intervalo do apito A · 2020 = enunciado: intervalo do apito B · 2525 = enunciado: intervalo do apito C

MMC(15,20)=60;MMC(60,25)=300=300 sMMC(15, 20) = 60; MMC(60, 25) = 300 = \boxed{300\ \text{s}}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular o MMC errado, por exemplo, usando 15×20×25 = 7500, que é um múltiplo comum, mas não o menor.

Passo 3 — Contar os toques de cada apito

Precisamos saber quantas vezes cada apito soa no intervalo de 0 a 395 segundos, excluindo o instante 0 (quando os três tocam juntos). Isso nos dá o total de toques individuais, que depois ajustaremos subtraindo as coincidências.

Por que esta fórmula: O número de múltiplos de um número n até um limite L é dado por ⌊L/n⌋ (a parte inteira da divisão). Para cada apito, contamos os múltiplos positivos do intervalo até 395.

NA=⌊39515⌋,NB=⌊39520⌋,NC=⌊39525⌋N_A = \left\lfloor \frac{395}{15} \right\rfloor, \quad N_B = \left\lfloor \frac{395}{20} \right\rfloor, \quad N_C = \left\lfloor \frac{395}{25} \right\rfloor

De onde vem cada valor: 395395 = passo 1 · 1515 = enunciado: intervalo do apito A · 2020 = enunciado: intervalo do apito B · 2525 = enunciado: intervalo do apito C

NA=⌊39515⌋=26,NB=⌊39520⌋=19,NC=⌊39525⌋=15=26 ,19,15N_A = \left\lfloor \frac{395}{15} \right\rfloor = 26, \quad N_B = \left\lfloor \frac{395}{20} \right\rfloor = 19, \quad N_C = \left\lfloor \frac{395}{25} \right\rfloor = 15 = \boxed{26\ , 19, 15}
NÃO CAIA NESSA!

Incluir o instante 0 na contagem, o que adicionaria 1 a cada apito, mas o instante 0 é uma coincidência tripla e não deve ser contado como toque individual.

Passo 4 — Calcular os MMCs dois a dois

Para subtrair as coincidências duplas (quando dois apitos tocam juntos, mas o terceiro não), precisamos saber com que frequência cada par coincide. Isso é dado pelo MMC dos dois intervalos.

Por que esta fórmula: O MMC de dois números é o menor múltiplo comum; ele nos dá o intervalo entre as coincidências daqueles dois apitos. Calculamos MMC(15,20), MMC(15,25) e MMC(20,25).

MMC(15,20)=60,MMC(15,25)=75,MMC(20,25)=100MMC(15{,}20) = 60, \quad MMC(15{,}25) = 75, \quad MMC(20{,}25) = 100

De onde vem cada valor: 1515 = enunciado: intervalo do apito A · 2020 = enunciado: intervalo do apito B · 2525 = enunciado: intervalo do apito C

MMC(15,20)=60,MMC(15,25)=75,MMC(20,25)=100=60 ,75,100MMC(15{,}20) = 60, MMC(15{,}25) = 75, MMC(20{,}25) = 100 = \boxed{60\ , 75, 100}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir MMC com MDC; aqui precisamos do múltiplo comum, não do divisor comum.

Passo 5 — Contar as coincidências duplas e triplas

Agora que temos os intervalos de coincidência, contamos quantas vezes cada par coincide no tempo total, e também quantas vezes os três coincidem (que já sabemos ser a cada 300 s). Esses números serão usados para subtrair as coincidências do total de toques.

Por que esta fórmula: O número de coincidências de um par é o número de múltiplos do MMC do par até 395, excluindo o instante 0. Para o trio, é o número de múltiplos de 300 até 395.

CAB=⌊39560⌋,CAC=⌊39575⌋,CBC=⌊395100⌋,CABC=⌊395300⌋C_{AB} = \left\lfloor \frac{395}{60} \right\rfloor, \quad C_{AC} = \left\lfloor \frac{395}{75} \right\rfloor, \quad C_{BC} = \left\lfloor \frac{395}{100} \right\rfloor, \quad C_{ABC} = \left\lfloor \frac{395}{300} \right\rfloor

De onde vem cada valor: 395395 = passo 1 · 6060 = passo 4: MMC(15,20) · 7575 = passo 4: MMC(15,25) · 100100 = passo 4: MMC(20,25) · 300300 = passo 2: MMC(15,20,25)

CAB=⌊39560⌋=6,CAC=⌊39575⌋=5,CBC=⌊395100⌋=3,CABC=⌊395300⌋=1=6 ,5,3,1C_{AB} = \left\lfloor \frac{395}{60} \right\rfloor = 6, \quad C_{AC} = \left\lfloor \frac{395}{75} \right\rfloor = 5, \quad C_{BC} = \left\lfloor \frac{395}{100} \right\rfloor = 3, \quad C_{ABC} = \left\lfloor \frac{395}{300} \right\rfloor = 1 = \boxed{6\ , 5, 3, 1}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de excluir o instante 0; como o 0 é múltiplo de todos, ele seria contado, mas não deve ser incluído porque é uma coincidência tripla que não conta como 'apenas um'.

Passo 6 — Calcular o número de toques exclusivos

Com o total de toques de cada apito e as contagens de coincidências, podemos calcular quantas vezes apenas um apito soa. A fórmula usa o princípio da inclusão-exclusão: somamos os toques individuais, subtraímos as coincidências duplas (pois foram contadas duas vezes) e somamos a coincidência tripla (pois foi subtraída três vezes, mas deve ser contada uma vez).

Por que esta fórmula: O número de elementos na união de três conjuntos é dado por |A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|. Aqui, queremos apenas os elementos que pertencem a exatamente um conjunto, então subtraímos as interseções duas a duas e adicionamos a interseção tripla, mas como queremos apenas um, a fórmula correta é: (|A|+|B|+|C|) - 2(|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|) + 3|A∩B∩C|? Vamos verificar: cada toque individual conta 1. Coincidências duplas: cada uma foi contada em dois toques individuais, então para contar apenas uma vez, subtraímos 1 para cada ocorrência dupla. Coincidências triplas: cada uma foi contada em três toques individuais, e também foi subtraída nas três duplas, então precisamos adicionar 1 para cada ocorrência tripla. Portanto, a fórmula é: Total = (N_A+N_B+N_C) - (C_AB+C_AC+C_BC) + C_ABC? Não, vamos pensar: cada coincidência dupla (ex: A e B) está incluída em N_A e N_B, então para contar apenas uma vez, subtraímos 1. Cada coincidência tripla está incluída em N_A, N_B, N_C, e também nas três duplas, então se subtrairmos as duplas, ela foi subtraída 3 vezes, mas deveria ser contada 1 vez, então adicionamos 2? Vamos fazer com números: N_A=26, N_B=19, N_C=15, C_AB=6, C_AC=5, C_BC=3, C_ABC=1. Se simplesmente somarmos e subtrairmos as duplas: 26+19+15 -6-5-3 = 46. Mas isso conta a tripla? A tripla está incluída em cada dupla, então foi subtraída 3 vezes, mas deveria ser contada 1 vez, então precisamos adicionar 2? Vamos ver: a tripla ocorre em 300 s, que é múltiplo de 60, 75 e 100, então está incluída em C_AB, C_AC e C_BC. Se subtrairmos as duplas, subtraímos 3 vezes a tripla, mas ela deveria ser contada 1 vez, então adicionamos 2. Mas também, a tripla está incluída nos toques individuais, então já foi contada 3 vezes. Vamos calcular diretamente: apenas A = N_A - C_AB - C_AC + C_ABC? Não, porque C_AB inclui também a tripla, então precisamos subtrair as duplas e adicionar a tripla. A fórmula correta para apenas um é: (N_A - C_AB - C_AC + C_ABC) + (N_B - C_AB - C_BC + C_ABC) + (N_C - C_AC - C_BC + C_ABC) = N_A+N_B+N_C -2(C_AB+C_AC+C_BC) +3C_ABC. Vamos testar: 26+19+15 -2(6+5+3) +31 = 60 -2*14 +3 = 60 -28 +3 = 35. Sim, dá 35. Então a fórmula é essa.

Nexclusivos=NA+NB+NC−2⋅(CAB+CAC+CBC)+3⋅CABCN_{exclusivos} = N_A + N_B + N_C - 2 \cdot (C_{AB} + C_{AC} + C_{BC}) + 3 \cdot C_{ABC}

De onde vem cada valor: NAN_A = passo 3: 26 · NBN_B = passo 3: 19 · NCN_C = passo 3: 15 · CABC_{AB} = passo 5: 6 · CACC_{AC} = passo 5: 5 · CBCC_{BC} = passo 5: 3 · CABCC_{ABC} = passo 5: 1

Nexclusivos=26+19+15−2⋅(6+5+3)+3⋅1=60−2⋅14+3=60−28+3=35=35N_{exclusivos} = 26 + 19 + 15 - 2 \cdot (6 + 5 + 3) + 3 \cdot 1 = 60 - 2 \cdot 14 + 3 = 60 - 28 + 3 = 35 = \boxed{35}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a fórmula da união simples (somar e subtrair uma vez as duplas e somar a tripla), o que daria 60 -14 +1 = 47, que está errado porque conta as duplas como se fossem apenas uma, mas elas não são exclusivas.

Resposta: 35 vezes (alternativa B)

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