Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2025

Matemática: Geometria Espacial e Volume do Cone

Gabarito: letra E. A massa total da ponta de flecha é dada pelo produto do seu volume pela densidade do material. Utilizando a fórmula do volume do cone $V = \frac{1}{3} \pi r^2 H$, com $r = 5\,\text{mm} = 0,5\,\text{cm}$, densidade $d = 3\,\text{g/cm}^3$ e massa $m = 1,8\,\text{g}$, temos que $m = V \times d$. Substituindo os valores e adotando $\pi = 3$, obtemos $1,8 = \frac{1}{3} \times 3 \times (0,5)^2 \times H \times 3$, o que resulta em $1,8 = 0,75 \times H$, logo $H = 2,4\,\text{cm} = 24\,\text{mm}$.

Para resolver este problema, é fundamental atentar para a compatibilidade das unidades de medida. O raio é dado em milímetros ($5\,\text{mm}$), enquanto a densidade é dada em gramas por centímetro cúbico ($3\,\text{g/cm}^3$). Como $1\,\text{cm} = 10\,\text{mm}$, convertemos o raio para $0,5\,\text{cm}$ para que o volume resultante esteja em $\text{cm}^3$, permitindo o cálculo direto da massa.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $32\,\text{mm}$ não satisfaz a equação de massa. Se $H = 3,2\,\text{cm}$, o volume seria $V = \frac{1}{3} \times 3 \times (0,5)^2 \times 3,2 = 0,8\,\text{cm}^3$, resultando em uma massa de $0,8 \times 3 = 2,4\,\text{g}$, superior aos $1,8\,\text{g}$ informados.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $8\,\text{mm}$ ($0,8\,\text{cm}$) resulta em um volume de $V = 0,25 \times 0,8 = 0,2\,\text{cm}^3$, gerando uma massa de $0,6\,\text{g}$, muito abaixo do necessário.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $40\,\text{mm}$ ($4,0\,\text{cm}$) resulta em um volume de $V = 0,25 \times 4 = 1,0\,\text{cm}^3$, gerando uma massa de $3,0\,\text{g}$, valor incorreto.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $16\,\text{mm}$ ($1,6\,\text{cm}$) resulta em um volume de $V = 0,25 \times 1,6 = 0,4\,\text{cm}^3$, gerando uma massa de $1,2\,\text{g}$, valor insuficiente.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ Gabarito

Conforme demonstrado, ao utilizar $H = 2,4\,\text{cm}$ ($24\,\text{mm}$), o volume é $V = 0,25 \times 2,4 = 0,6\,\text{cm}^3$. Multiplicando pela densidade de $3\,\text{g/cm}^3$, temos $0,6 \times 3 = 1,8\,\text{g}$, que corresponde exatamente à massa total da ponta de flecha.

Gabarito: letra E.