Matemática · VUNESP · 2025 | Questão sqc-vu091003

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 330 (alternativa D).

A ideia por trás

Este problema envolve porcentagens e relações entre quantidades, que podem ser traduzidas em equações lineares. Uma porcentagem é uma fração do total: 10% de um número é 0,10 vezes esse número. Quando temos várias incógnitas e várias condições, montamos um sistema de equações e o resolvemos por substituição ou combinação. Aqui, as condições são: as participações (que dão equações com as incógnitas) e as relações entre os clubes (que ligam as incógnitas entre si). O objetivo é encontrar os totais de membros de cada clube e somá-los.

O que a questão dá

10% dos homens e 5% das mulheres do clube A participaram = 11 pessoas
20% dos homens e 20% das mulheres do clube B participaram = 36 pessoas
clube B tem 25 homens a mais que o clube A
clube A tem 5 mulheres a menos que o clube B

O que queremos: a soma dos números totais de membros dos dois clubes

Passo 1 — Montar a equação de participação do clube A

Precisamos transformar as informações de porcentagem em equações matemáticas. A participação de 10% dos homens e 5% das mulheres totaliza 11 pessoas, então somamos essas contribuições.

Por que esta fórmula: 10% de H_A é 0,10 * H_A, e 5% de M_A é 0,05 * M_A. A soma é igual ao total de participantes, 11.

0{,}10 \cdot H_A + 0{,}05 \cdot M_A = 11

De onde vem cada valor: $H_A$ = incógnita: número de homens do clube A · $M_A$ = incógnita: número de mulheres do clube A

0{,}10 \cdot H_A + 0{,}05 \cdot M_A = 11

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar pela porcentagem correta, como usar 10 em vez de 0,10.

Passo 2 — Simplificar a equação do clube A

Equações com decimais são mais difíceis de trabalhar. Multiplicar por 100 elimina as casas decimais, e depois dividir por 5 simplifica os coeficientes.

Por que esta fórmula: Multiplicar ambos os lados por 100 transforma 0,10 em 10 e 0,05 em 5. Depois, dividir por 5 reduz os números, mantendo a igualdade.

2H_A + M_A = 220

De onde vem cada valor: $2$ = passo 1: 10 dividido por 5 · $M_A$ = passo 1: 5 dividido por 5 · $220$ = passo 1: 11 * 100 / 5

2H_A + M_A = 220

NÃO CAIA NESSA!

Errar a divisão: 10/5 = 2, 5/5 = 1, 1100/5 = 220.

Passo 3 — Montar a equação de participação do clube B

Assim como no clube A, precisamos traduzir a participação do clube B em equação. Aqui, 20% dos homens e 20% das mulheres totalizam 36.

Por que esta fórmula: 20% é 0,20, então a soma das contribuições é 0,20H_B + 0,20M_B = 36.

0{,}20 \cdot H_B + 0{,}20 \cdot M_B = 36

De onde vem cada valor: $H_B$ = incógnita: número de homens do clube B · $M_B$ = incógnita: número de mulheres do clube B

0{,}20 \cdot H_B + 0{,}20 \cdot M_B = 36

NÃO CAIA NESSA!

Confundir as porcentagens: usar 10% e 5% para o clube B.

Passo 4 — Simplificar a equação do clube B

Novamente, simplificamos para facilitar. Multiplicar por 5 elimina os decimais.

Por que esta fórmula: Multiplicar por 5: 0,20*5 = 1, então fica H_B + M_B = 180.

H_B + M_B = 180

De onde vem cada valor: $H_B$ = passo 3 · $M_B$ = passo 3 · $180$ = passo 3: 36 * 5

H_B + M_B = 180

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar o 36 por 5.

Passo 5 — Escrever as relações entre os clubes

As relações entre os clubes ligam as incógnitas, permitindo reduzir o número de variáveis. Precisamos delas para substituir e resolver o sistema.

Por que esta fórmula: O clube B tem 25 homens a mais que A: H_B = H_A + 25. O clube A tem 5 mulheres a menos que B: M_A = M_B - 5.

H_B = H_A + 25, \quad M_A = M_B - 5

De onde vem cada valor: $H_B$ = incógnita · $H_A$ = incógnita · $25$ = enunciado: clube B tem 25 homens a mais · $M_A$ = incógnita · $M_B$ = incógnita · $5$ = enunciado: clube A tem 5 mulheres a menos

H_B = H_A + 25, \quad M_A = M_B - 5

NÃO CAIA NESSA!

Inverter os sinais: escrever H_B = H_A - 25 ou M_A = M_B + 5.

Passo 6 — Substituir as relações na equação do clube B

Substituímos H_B e M_B na equação do clube B para obter uma equação apenas com H_A e M_A, que podemos combinar com a equação do clube A.

Por que esta fórmula: Na equação H_B + M_B = 180, trocamos H_B por H_A+25 e M_B por M_A+5 (pois M_B = M_A+5, já que M_A = M_B-5).

(H_A + 25) + (M_A + 5) = 180

De onde vem cada valor: $H_A$ = passo 5 · $25$ = passo 5 · $M_A$ = passo 5 · $5$ = passo 5 · $180$ = passo 4

(H_A + 25) + (M_A + 5) = 180

NÃO CAIA NESSA!

Errar a substituição de M_B: como M_A = M_B - 5, então M_B = M_A + 5.

Passo 7 — Simplificar a equação resultante

Simplificamos para obter uma equação linear simples que relaciona H_A e M_A.

Por que esta fórmula: Somamos os termos: H_A + M_A + 30 = 180, então subtraímos 30 de ambos os lados.

H_A + M_A = 150

De onde vem cada valor: $H_A$ = passo 6 · $M_A$ = passo 6 · $150$ = passo 6: 180 - 30

H_A + M_A = 150

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar 25+5 = 30.

Passo 8 — Resolver o sistema para H_A e M_A

Agora temos duas equações com duas incógnitas. Subtraindo uma da outra, eliminamos M_A e encontramos H_A.

Por que esta fórmula: Temos 2H_A + M_A = 220 e H_A + M_A = 150. Subtraindo a segunda da primeira: (2H_A - H_A) + (M_A - M_A) = 220 - 150, logo H_A = 70.

H_A = 220 - 150 = 70

De onde vem cada valor: $220$ = passo 2 · $150$ = passo 7

H_A = 220 - 150 = 70 = \boxed{70\ \text{homens} \text{no} \text{clube} \text{A}}

NÃO CAIA NESSA!

Subtrair ao contrário: 150 - 220 = -70.

Passo 9 — Encontrar M_A substituindo H_A

Com H_A conhecido, usamos uma das equações para achar M_A.

Por que esta fórmula: Na equação H_A + M_A = 150, substituímos H_A por 70: 70 + M_A = 150, então M_A = 80.

M_A = 150 - 70 = 80

De onde vem cada valor: $150$ = passo 7 · $70$ = passo 8

M_A = 150 - 70 = 80 = \boxed{80\ \text{mulheres} \text{no} \text{clube} \text{A}}

NÃO CAIA NESSA!

Usar a equação errada: 2*70 + M_A = 220 daria M_A = 80 também, mas é mais fácil errar.

Passo 10 — Calcular H_B e M_B

Com os valores do clube A, usamos as relações para obter os do clube B.

Por que esta fórmula: H_B = H_A + 25 = 70 + 25 = 95. M_B = M_A + 5 = 80 + 5 = 85.

H_B = 70 + 25 = 95, \quad M_B = 80 + 5 = 85

De onde vem cada valor: $70$ = passo 8 · $25$ = passo 5 · $80$ = passo 9 · $5$ = passo 5

H_B = 70 + 25 = 95, \quad M_B = 80 + 5 = 85 = \boxed{95\ \text{homens} \text{e} 85 \text{mulheres} \text{no} \text{clube} \text{B}}

NÃO CAIA NESSA!

Usar M_B = M_A - 5, o que daria 75.

Passo 11 — Somar os totais de membros

O problema pede a soma dos totais de membros dos dois clubes. Somamos homens e mulheres de cada clube e depois os totais.

Por que esta fórmula: Total A = H_A + M_A = 70 + 80 = 150. Total B = H_B + M_B = 95 + 85 = 180. Soma = 150 + 180 = 330.

Total = (70 + 80) + (95 + 85) = 330

De onde vem cada valor: $70$ = passo 8 · $80$ = passo 9 · $95$ = passo 10 · $85$ = passo 10

Total = (70 + 80) + (95 + 85) = 330 = \boxed{330\ \text{membros}}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar os dois clubes, ou somar apenas os participantes.

Resposta: 330 (alternativa D)

Questão de Matemática — Álgebra — VUNESP 2025

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Montar a equação de participação do clube A

Passo 2 — Simplificar a equação do clube A

Passo 3 — Montar a equação de participação do clube B

Passo 4 — Simplificar a equação do clube B

Passo 5 — Escrever as relações entre os clubes

Passo 6 — Substituir as relações na equação do clube B

Passo 7 — Simplificar a equação resultante

Passo 8 — Resolver o sistema para H_A e M_A

Passo 9 — Encontrar M_A substituindo H_A

Passo 10 — Calcular H_B e M_B

Passo 11 — Somar os totais de membros