Para responder à questão, considere o seguinte cenário hipotético:
Um dispositivo eletromecânico em funcionamento aquece
naturalmente, até que um sistema de resfriamento seja
automaticamente acionado. Sua temperatura T (em ºC) é
dada em função do tempo x (em minutos) transcorrido desde
o início do funcionamento do dispositivo eletromecânico, de
acordo com a seguinte função:
T(x) = 12x – x²
Dado: para o domínio da função, considere-se o intervalo
[2;11]
O dispositivo mencionado dispõe também de uma luz indicadora, que se acende sempre que sua temperatura fica igual ou maior que 35 ºC.urante quantos minutos essa luz indicadora ficou acesa, no intervalo de tempo considerado?
A3
B2
C4
D5
E6
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GabaritoB — 2
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Resolução
Gabarito: letra B — a conta chega a 2 minutos (alternativa B).
A ideia por trás
A função quadrática descreve uma parábola: quando o coeficiente de x² é negativo, a concavidade é para baixo, ou seja, a temperatura sobe até um máximo e depois desce. A inequação do 2º grau é resolvida encontrando as raízes e analisando o sinal da função entre elas. Nesta questão, precisamos achar o intervalo de tempo em que a temperatura é maior ou igual a 35 ºC, o que envolve resolver a inequação T(x) ≥ 35 e depois calcular a duração desse intervalo.
O que a questão dá
função temperatura: T(x) = 12x - x^2
luz acende quando T(x) ≥ 35 ºC
domínio: x ∈ [2; 11]
O que queremos: quantos minutos a luz fica acesa
Passo 1 — Montar a inequação
A luz acende quando a temperatura é maior ou igual a 35 ºC, então precisamos escrever essa condição como uma inequação para poder resolvê-la.
Por que esta fórmula: A função dada é T(x) = 12x - x², e queremos os valores de x para os quais T(x) ≥ 35. Isso é exatamente a inequação 12x - x² ≥ 35.
De onde vem cada valor: = enunciado: T(x) = 12x - x^2 · = enunciado: temperatura mínima para acender a luz
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de incluir o sinal de igual, considerando apenas > 35, o que excluiria os pontos exatos onde a temperatura é 35 ºC.
Passo 2 — Reorganizar a inequação
Para resolver a inequação, é mais fácil trabalhar com o formato padrão ax² + bx + c ≤ 0 ou ≥ 0. Vamos passar todos os termos para um lado.
Por que esta fórmula: Subtraindo 35 de ambos os lados, obtemos -x² + 12x - 35 ≥ 0. Multiplicar por -1 inverte o sinal da desigualdade, resultando em x² - 12x + 35 ≤ 0, que é mais fácil de fatorar.
De onde vem cada valor: = passo 1: 12x - x^2 ≥ 35, reorganizado e multiplicado por -1
NÃO CAIA NESSA!
Ao multiplicar por -1, esquecer de inverter o sinal da desigualdade, mantendo ≥ em vez de ≤.
Passo 3 — Fatorar o trinômio
Com a inequação no formato x² - 12x + 35 ≤ 0, precisamos fatorar para encontrar as raízes, que são os pontos onde a temperatura é exatamente 35 ºC.
Por que esta fórmula: Procuramos dois números que somados dão 12 e multiplicados dão 35. Esses números são 5 e 7, então a fatoração é (x - 5)(x - 7).
De onde vem cada valor: = fatoração: números que somam 12 e multiplicam 35 · = fatoração: números que somam 12 e multiplicam 35
NÃO CAIA NESSA!
Errar a fatoração, por exemplo, usar (x - 5)(x + 7), o que daria raízes diferentes.
Passo 4 — Analisar o sinal do produto
Para que o produto (x - 5)(x - 7) seja menor ou igual a zero, os fatores devem ter sinais opostos ou um deles ser zero. Isso ocorre quando x está entre as raízes.
Por que esta fórmula: Em uma inequação do tipo (x - a)(x - b) ≤ 0, a solução é o intervalo fechado entre as raízes, ou seja, a ≤ x ≤ b, desde que a < b.
De onde vem cada valor: = passo 3: raiz do primeiro fator · = passo 3: raiz do segundo fator
NÃO CAIA NESSA!
Considerar o intervalo fora das raízes (x ≤ 5 ou x ≥ 7), o que daria temperatura menor que 35 ºC.
Passo 5 — Calcular a duração do intervalo
O intervalo de tempo em que a luz fica acesa é a diferença entre o limite superior e o inferior do intervalo de x que satisfaz a inequação.
Por que esta fórmula: A duração é dada por 7 - 5, pois o tempo começa no minuto 5 e termina no minuto 7.
De onde vem cada valor: = passo 4: limite superior do intervalo · = passo 4: limite inferior do intervalo
NÃO CAIA NESSA!
Marcar 5 ou 7 como resposta, em vez de subtrair os extremos.