Há 10 anos, uma família tinha alguns membros, entre os quais crianças e adultos, na razão de 12 crianças para cada 5 adultos. Atualmente, com o passar desses 10 anos, 4 dessas crianças atingiram a idade adulta, e aquela razão passou a ser de 10 crianças para cada 7 adultos.Sabendo que, nesses 10 anos, nenhum membro dessa família nasceu ou faleceu, a diferença entre os números atuais de crianças e de adultos dessa família é igual a
A9.
B3.
C12.
D6,
E14.
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GabaritoD — 6,
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Resolução
Gabarito: letra D — a conta chega a 6 (alternativa D).
A ideia por trás
Razão e proporção comparam duas grandezas: aqui, o número de crianças e o de adultos em uma família. Uma razão como 12:5 significa que, para cada 5 adultos, há 12 crianças — é uma relação de proporção, não os valores absolutos. Quando uma razão muda, as grandezas mudaram, mas o total de pessoas permaneceu o mesmo, pois ninguém nasceu ou morreu; apenas 4 crianças passaram a ser adultas. Isso permite montar um sistema de equações: a razão antiga relaciona as quantidades de 10 anos atrás (crianças = atuais + 4, adultos = atuais − 4), e a razão nova relaciona as quantidades atuais. Resolver esse sistema dá os números atuais, e a diferença pedida é a subtração entre eles.
O que a questão dá
razão há 10 anos: 12 crianças para 5 adultos
razão atual: 10 crianças para 7 adultos
4 crianças tornaram-se adultas
nenhum nascimento ou morte no período
O que queremos: a diferença entre os números atuais de crianças e adultos
Passo 1 — Definir as variáveis atuais
Para trabalhar com as razões, precisamos nomear as quantidades desconhecidas. Vamos chamar de C o número de crianças hoje e de A o número de adultos hoje. Essas são as incógnitas que queremos descobrir.
NÃO CAIA NESSA!
Confundir as variáveis: C e A são os valores ATUAIS, não os de 10 anos atrás.
Passo 2 — Montar a equação da razão atual
A razão atual é dada: 10 crianças para 7 adultos. Isso significa que a fração C/A é igual a 10/7. Essa é a primeira equação do sistema.
Por que esta fórmula: A razão é uma fração que compara duas grandezas. Aqui, a razão atual é o número de crianças dividido pelo número de adultos, e o enunciado diz que isso vale 10/7.
De onde vem cada valor: = definido no passo 1 · = definido no passo 1 · = enunciado: razão atual de 10 crianças para 7 adultos
NÃO CAIA NESSA!
Inverter a razão: colocar A/C = 10/7 em vez de C/A.
Passo 3 — Montar a equação da razão antiga
Precisamos de uma segunda equação para resolver o sistema. A razão de 10 anos atrás relaciona as quantidades daquela época, que podemos expressar em função das atuais: há 10 anos havia C+4 crianças (porque 4 das atuais eram crianças) e A−4 adultos (porque 4 dos atuais adultos ainda não eram adultos).
Por que esta fórmula: A razão antiga é 12 para 5, então a fração (crianças de antigamente)/(adultos de antigamente) é 12/5. Como as quantidades antigas são C+4 e A−4, montamos a equação.
De onde vem cada valor: = passo 1: C é o número atual de crianças; +4 porque 4 crianças de hoje eram crianças há 10 anos · = passo 1: A é o número atual de adultos; −4 porque 4 adultos de hoje não eram adultos há 10 anos · = enunciado: razão de 12 crianças para 5 adultos há 10 anos
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de somar/subtrair 4: usar C/A = 12/5, o que ignora a mudança de faixa etária.
Passo 4 — Isolar C na equação atual
Para resolver o sistema, vamos substituir C na equação antiga. Da equação atual, isolamos C em função de A, o que nos dá uma expressão para usar no próximo passo.
Por que esta fórmula: Multiplicando ambos os lados por A, obtemos C = (10/7)A. Isso é uma manipulação algébrica simples para expressar uma incógnita em termos da outra.
De onde vem cada valor: = passo 2: razão atual · = passo 1: número atual de adultos
NÃO CAIA NESSA!
Errar a multiplicação: esquecer de multiplicar A pelo numerador 10.
Passo 5 — Substituir C na equação antiga
Agora temos duas equações com duas incógnitas. Substituindo a expressão de C na equação antiga, ficamos com uma equação apenas com A, que podemos resolver.
Por que esta fórmula: Substituição é o método de resolver sistema: trocamos C por (10/7)A na equação do passo 3, eliminando uma variável.
De onde vem cada valor: = passo 4: expressão de C · = passo 3: crianças de antigamente · = passo 3: adultos de antigamente · = passo 3: razão antiga
NÃO CAIA NESSA!
Substituir apenas C, esquecendo o +4 no numerador.
Passo 6 — Multiplicar em cruz
Para resolver a equação com frações, multiplicamos em cruz: o numerador de um lado vezes o denominador do outro. Isso elimina as frações e transforma a equação em uma equação linear.
Por que esta fórmula: Multiplicação em cruz é válida quando temos uma igualdade de frações: a/b = c/d implica a·d = b·c.
De onde vem cada valor: = passo 5: denominador do lado direito · = passo 5: numerador do lado esquerdo · = passo 5: numerador do lado direito · = passo 5: denominador do lado esquerdo
NÃO CAIA NESSA!
Multiplicar errado: esquecer de distribuir o 5 ou o 12.
Passo 7 — Resolver a equação para A
Agora temos uma equação linear em A. Vamos expandir os parênteses, eliminar o denominador 7 e isolar A para encontrar seu valor.
Por que esta fórmula: Expandindo: (50/7)A + 20 = 12A − 48. Multiplicando tudo por 7: 50A + 140 = 84A − 336. Isolando A: 476 = 34A, logo A = 14.
De onde vem cada valor: = passo 6: após simplificação, 140 + 336 · = passo 6: 84 − 50
NÃO CAIA NESSA!
Errar a aritmética ao somar/subtrair os termos com A.
Passo 8 — Calcular C e a diferença
Com A = 14, usamos a expressão do passo 4 para achar C. Depois, a diferença pedida é C − A.
Por que esta fórmula: C = (10/7)·14 = 20. A diferença é 20 − 14 = 6.
De onde vem cada valor: = passo 4: C = (10/7)·14 = 20 · = passo 7: A = 14
NÃO CAIA NESSA!
Parar em A = 14 e marcar a alternativa E, esquecendo de calcular a diferença.