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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2025

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
vu091008
Banca
VUNESP
Órgão
ARSESP
Ano
2025
Nível
Médio
Cargo
Agente de Suporte à Regulação
Célia tem 6 colares e quer guardá-los em caixas, todas com a mesma quantidade de colares. Ela percebeu que há 4 formas de fazer isso: 1 caixa, com os 6 colares; 2 caixas, com 3 colares em cada; 3 caixas, com 2 colares em cada; ou 6 caixas, com 1 colar em cada. Sua filha Kelly quer fazer o mesmo, ou seja, guardar os seus colares em caixas, todas com a mesma quantidade de colares.Se Kelly tem 28 colares, de quantas formas ela pode fazer isso?
  1. A9
  2. B5
  3. C6
  4. D8
  5. E7
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GabaritoC — 6

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 6 formas (letra C).

A ideia por trás

Quando dividimos uma quantidade em grupos iguais, o número de grupos possíveis é exatamente o número de divisores positivos da quantidade total. Por exemplo, com 6 colares, as formas de dividir em grupos iguais são 1, 2, 3 e 6 — que são os divisores de 6. Para saber quantas formas Kelly tem, precisamos contar os divisores de 28. A fatoração em primos ajuda: se um número é escrito como produto de potências de primos, o número de divisores é o produto dos expoentes acrescidos de 1. Nesta questão, basta fatorar 28 e aplicar essa regra.

O que a questão dá

  • Célia tem 6 colares e 4 formas de guardar

  • Kelly tem 28 colares

O que queremos: o número de formas de Kelly guardar seus 28 colares em caixas com a mesma quantidade

Passo 1 — Fatorar 28 em números primos

Para contar os divisores de 28, precisamos primeiro escrevê-lo como produto de primos. Isso é a base para a fórmula que dá o número de divisores.

Por que esta fórmula: A fatoração em primos é única para cada número e nos permite aplicar a regra dos divisores.

28=2×14=2×2×7=22×728 = 2 \times 14 = 2 \times 2 \times 7 = 2^{2} \times 7

De onde vem cada valor: 2828 = enunciado: Kelly tem 28 colares

28=2×14=2×2×7=22×728 = 2 \times 14 = 2 \times 2 \times 7 = 2^{2} \times 7
28=22×728 = \boxed{2^{2} \times 7}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que 14 ainda é divisível por 2, parando em 2 × 14.

Passo 2 — Calcular o número de divisores

Com a fatoração pronta, usamos a regra: se N = a^m × b^n, o número de divisores é (m+1)(n+1). Isso conta todas as combinações de expoentes possíveis.

Por que esta fórmula: Cada divisor é formado escolhendo um expoente para o 2 (0, 1 ou 2) e um para o 7 (0 ou 1), totalizando 3 × 2 = 6 combinações.

d(N)=(m+1)(n+1)d(N) = (m+1)(n+1)

De onde vem cada valor: mm = passo 1: expoente do 2, que é 2 · nn = passo 1: expoente do 7, que é 1

d(28)=(2+1)(1+1)=3×2=6 divisoresd(28) = (2+1)(1+1) = 3 \times 2 = \boxed{6\ \text{divisores}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar apenas os expoentes (2 e 1) e somar, obtendo 3, em vez de somar 1 a cada um.

Passo 3 — Listar os divisores para conferir

A fórmula dá o total, mas listar os divisores ajuda a entender e evita erros de contagem. Cada divisor corresponde a uma forma de guardar os colares.

Por que esta fórmula: Os divisores são obtidos combinando as potências de 2 (1, 2, 4) com as de 7 (1, 7), gerando 1, 2, 4, 7, 14 e 28.

D(28)={1,2,4,7,14,28}D(28) = \{1, 2, 4, 7, 14, 28\}

De onde vem cada valor: 11 = 2^0 × 7^0 · 22 = 2^1 × 7^0 · 44 = 2^2 × 7^0 · 77 = 2^0 × 7^1 · 1414 = 2^1 × 7^1 · 2828 = 2^2 × 7^1

1,2,4,7,14,28=6 divisores1, 2, 4, 7, 14, 28 = \boxed{6\ \text{divisores}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o divisor 1 ou o próprio 28, contando apenas 5.

Resposta: 6 formas (letra C)

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