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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2025

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
vu091127
Banca
VUNESP
Órgão
ARSESP
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Especialista em Regulação e Fiscalização de Serviços Públicos - Área de Conhecimento/Ênfases: Econômico-Financeira
Um artesão tinha à sua disposição um bloco compacto de madeira, com formato cúbico, cujo volume era de 4.096 cm3 . Ele dividiu esse cubo, sem perda de material, em oito cubos iguais. Quatro desses cubos o artesão desbastou até que ficassem, cada um, com o formato de um cilindro, cuja base circular tinha diâmetro de medida igual à aresta do cubo e cuja altura era a mesma altura do cubo; outros três desses cubos ele desbastou até que ficassem cada um com o formato de uma pirâmide cuja base era uma das faces do cubo e cuja altura era igual à altura do cubo; um desses oito cubos o artesão não alterou.Ao realizar esse trabalho de criação dessas oito peças, o volume de madeira que o artesão desbastou correspondia, em relação ao bloco de madeira inicial, aAdote: π = 3
  1. A37,5%
  2. B25%
  3. C32,5%
  4. D40%
  5. E45%
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 37,5%

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 37,5% — alternativa A.

A ideia por trás

O volume de um sólido mede o espaço que ele ocupa. Para o cubo, o volume é o cubo da aresta; para o cilindro, é a área da base circular vezes a altura; para a pirâmide, é um terço da área da base vezes a altura. A relação central é que o volume desbastado é a diferença entre o volume inicial e a soma dos volumes das peças finais, pois não há perda de material. Nesta questão, precisamos calcular o volume de cada tipo de peça, somá-los e comparar com o volume original.

O que a questão dá

  • volume do cubo inicial = 4096 cm³

  • número de cubos menores = 8

  • número de cilindros = 4

  • número de pirâmides = 3

  • número de cubos não alterados = 1

  • π = 3

O que queremos: o percentual do volume desbastado em relação ao volume inicial

Passo 1 — Descobrir a aresta do cubo original

Precisamos da aresta do cubo original para depois dividir em cubos menores. O volume do cubo é dado, e a aresta é a raiz cúbica do volume.

Por que esta fórmula: O volume de um cubo é V = a³, então para achar a aresta invertemos a operação: a = ∛V.

a=V3a = \sqrt[3]{V}

De onde vem cada valor: VV = enunciado: 4096 cm³

a=40963=16 cma = \sqrt[3]{4096} = \boxed{16\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a raiz cúbica de 4096 é 16, e não 8 ou 64.

Passo 2 — Calcular a aresta de cada cubo menor

O cubo original foi dividido em 8 cubos iguais, então cada cubo menor tem aresta igual à metade da aresta original. Isso é necessário para calcular os volumes das peças.

Por que esta fórmula: Dividir o cubo em 8 partes iguais significa dividir cada aresta por 2, pois 2³ = 8.

a′=a2a' = \frac{a}{2}

De onde vem cada valor: aa = passo 1: 16 cm

a′=162=8 cma' = \frac{16}{2} = \boxed{8\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir por 8 em vez de por 2, achando aresta 2 cm.

Passo 3 — Calcular o volume de cada cubo menor

Precisamos do volume de cada cubo menor para comparar com os volumes das peças e para o cubo não alterado.

Por que esta fórmula: O volume de um cubo é o cubo da aresta.

Vcubo menor=(a′)3V_{cubo\,menor} = (a')^{3}

De onde vem cada valor: a′a' = passo 2: 8 cm

Vcubo menor=83=512 cm3V_{cubo\,menor} = 8^{3} = \boxed{512\ \text{cm}^{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular 8 × 3 = 24 em vez de 8 × 8 × 8 = 512.

Passo 4 — Calcular o volume de um cilindro

Cada cilindro tem diâmetro igual à aresta do cubo menor, então o raio é metade. Precisamos do volume de um cilindro para depois multiplicar por 4.

Por que esta fórmula: O volume de um cilindro é a área da base circular (πr²) vezes a altura. Aqui a altura é igual à aresta do cubo menor.

Vcilindro=π⋅r2⋅hV_{cilindro} = \pi \cdot r^{2} \cdot h

De onde vem cada valor: π\pi = enunciado: 3 · rr = passo 2: diâmetro = 8 cm, então r = 4 cm · hh = passo 2: 8 cm

Vcilindro=3⋅42⋅8=384 cm3V_{cilindro} = 3 \cdot 4^{2} \cdot 8 = \boxed{384\ \text{cm}^{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o diâmetro em vez do raio na fórmula, dando 3 × 8² × 8 = 1536, que é o volume de 4 cilindros.

Passo 5 — Calcular o volume de uma pirâmide

Cada pirâmide tem base quadrada de lado igual à aresta do cubo menor e altura igual à aresta. Precisamos do volume de uma pirâmide para depois multiplicar por 3.

Por que esta fórmula: O volume de uma pirâmide é um terço da área da base vezes a altura. A base é um quadrado de lado 8 cm.

Vpira^mide=13⋅Abase⋅hV_{pirâmide} = \frac{1}{3} \cdot A_{base} \cdot h

De onde vem cada valor: AbaseA_{base} = passo 2: lado = 8 cm, então A = 8² = 64 cm² · hh = passo 2: 8 cm

Vpira^mide=13⋅64⋅8=512 /3cm3V_{pirâmide} = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 8 = \boxed{512\ /3 \text{cm}^{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o fator 1/3, calculando 64 × 8 = 512 cm³, que é o volume de um cubo.

Passo 6 — Somar os volumes das oito peças

O volume final é a soma dos volumes de todas as peças: 1 cubo, 4 cilindros e 3 pirâmides. Precisamos desse total para subtrair do volume inicial.

Por que esta fórmula: A soma dos volumes das peças é o volume total que sobrou após o desbaste.

Vfinal=Vcubo+4⋅Vcilindro+3⋅Vpira^mideV_{final} = V_{cubo} + 4 \cdot V_{cilindro} + 3 \cdot V_{pirâmide}

De onde vem cada valor: VcuboV_{cubo} = passo 3: 512 cm³ · VcilindroV_{cilindro} = passo 4: 384 cm³ · Vpira^mideV_{pirâmide} = passo 5: 512/3 cm³

Vfinal=512+4⋅384+3⋅5123=2560 cm3V_{final} = 512 + 4 \cdot 384 + 3 \cdot \frac{512}{3} = \boxed{2560\ \text{cm}^{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar os volumes pelo número de peças, somando apenas um de cada.

Passo 7 — Calcular o volume desbastado

O volume desbastado é a diferença entre o volume inicial e o volume final. Isso é o que foi retirado da madeira.

Por que esta fórmula: Como não há perda de material, todo o volume que não está nas peças finais foi desbastado.

Vdesbastado=Vinicial−VfinalV_{desbastado} = V_{inicial} - V_{final}

De onde vem cada valor: VinicialV_{inicial} = enunciado: 4096 cm³ · VfinalV_{final} = passo 6: 2560 cm³

Vdesbastado=4096−2560=1536 cm3V_{desbastado} = 4096 - 2560 = \boxed{1536\ \text{cm}^{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair ao contrário, dando volume negativo.

Passo 8 — Transformar o volume desbastado em porcentagem

A questão pede o percentual em relação ao bloco inicial. Dividimos o volume desbastado pelo volume inicial e multiplicamos por 100.

Por que esta fórmula: Porcentagem é uma razão: parte dividida pelo todo, vezes 100.

%=VdesbastadoVinicial×100\% = \frac{V_{desbastado}}{V_{inicial}} \times 100

De onde vem cada valor: VdesbastadoV_{desbastado} = passo 7: 1536 cm³ · VinicialV_{inicial} = enunciado: 4096 cm³

%=15364096×100=37,5 %\% = \frac{1536}{4096} \times 100 = \boxed{37{,}5\ \%}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 100, ficando com 0,375 e marcando errado.

Resposta: 37,5% — alternativa A

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