Questão de Estatística — Conhecimentos de estatística — VUNESP 2025

Regressão linear simples: estimativa do intercepto por mínimos quadrados

Gabarito: letra A (β̂₀ = –18). No modelo de regressão linear simples y = β₀ + β₁x, o estimador de mínimos quadrados ordinários para o intercepto é dado por β̂₀ = ȳ − β̂₁·x̄, em que ȳ e x̄ são as médias amostrais de y e x, respectivamente. Com os dados fornecidos, ȳ = 60 e x̄ = 6, e com β̂₁ = 13, obtemos β̂₀ = 60 − 13·6 = 60 − 78 = –18.

A questão cobra a aplicação direta da fórmula do intercepto na regressão linear simples. O ponto central é lembrar que a reta de mínimos quadrados sempre passa pelo ponto das médias (x̄, ȳ), o que permite estimar β₀ sem precisar resolver o sistema completo de equações normais. A banca fornece o coeficiente angular já estimado (β̂₁ = 13) justamente para que o candidato use essa propriedade e calcule o intercepto de forma imediata.

A fórmula decorre das equações normais do método dos mínimos quadrados, que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos ∑(yᵢ − β̂₀ − β̂₁xᵢ)². Derivando em relação a β₀ e igualando a zero, chega-se à condição de que a soma dos resíduos é zero, o que implica que a reta ajustada passa pelo ponto médio (x̄, ȳ). Assim, o intercepto é obtido isolando β₀ na equação ȳ = β̂₀ + β̂₁·x̄.

A pegadinha da banca está em oferecer distratores que resultam de erros de cálculo com as médias ou de confusão entre os coeficientes. Por exemplo, se o candidato calcular ȳ − β̂₁·x̄ com x̄ = 8 (média errada), obtém 60 − 104 = –44 (não listado); se usar β̂₁ = 13 e x̄ = 6, mas errar a subtração, pode chegar a –24 ou –30. A alternativa correta exige apenas o cálculo correto das médias e a aplicação da fórmula.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O intercepto estimado é β̂₀ = ȳ − β̂₁·x̄. Calculando as médias: ȳ = (10+30+70+70+120)/5 = 300/5 = 60; x̄ = (2+4+6+8+10)/5 = 30/5 = 6. Com β̂₁ = 13, temos β̂₀ = 60 − 13·6 = 60 − 78 = –18. A reta ajustada passa pelo ponto (6, 60), e o intercepto é o valor de y quando x = 0, que, pela inclinação de 13, é 60 − 78 = –18.

Alternativa B — ❌ Incorreta

–30 seria o resultado se o candidato usasse x̄ = 6, mas calculasse 60 − 13·6 = 60 − 78 = –18 e depois subtraísse 12 (ou se confundisse a média de x com 6,9). Não há operação direta com os dados que produza –30; é um distrator puro.

Alternativa C — ❌ Incorreta

–24 seria obtido se o candidato usasse x̄ = 6, mas calculasse 60 − 13·6 = 60 − 78 = –18 e depois somasse 6 (ou se confundisse a média de y com 54). Não corresponde a nenhuma operação correta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

–12 seria o resultado se o candidato usasse x̄ = 6, mas calculasse 60 − 13·6 = 60 − 78 = –18 e depois somasse 6 (ou se confundisse a média de y com 54). Não corresponde a nenhuma operação correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

–6 seria obtido se o candidato usasse x̄ = 6, mas calculasse 60 − 13·6 = 60 − 78 = –18 e depois somasse 12 (ou se confundisse a média de y com 54). Não corresponde a nenhuma operação correta.

Gabarito: letra A