Questão de Raciocínio Lógico — Probabilidade — VUNESP 2025

Probabilidade com senhas e restrições de ordem

Gabarito: letra B (8%). A probabilidade é de 8%, obtida pela razão entre 24 senhas favoráveis (que começam com B e terminam com 2) e 300 senhas possíveis no total, respeitadas todas as condições impostas. A contagem envolve combinações para as letras (estritamente crescentes) e para os algarismos (primeiro maior que os demais), com um dígito fixado.

Passo a passo da resolução

Total de senhas possíveis (espaço amostral)

A senha tem 7 caracteres distintos: 3 letras (A, B, C, D, E) e 4 algarismos (1, 2, 3, 4, 5).

• Letras: A primeira letra deve ser a menor entre as três, e as duas seguintes devem estar em ordem alfabética crescente. Portanto, a tripla de letras deve ser estritamente crescente. O número de triplas possíveis é o número de combinações de 3 letras entre 5: ( C_{5,3} = 10 ).

• Algarismos: O primeiro algarismo deve ser o maior entre os quatro, e os três seguintes são quaisquer algarismos menores que ele, em qualquer ordem. Só são possíveis primeiro algarismo 4 ou 5:

  • Se D1 = 5: os três menores devem ser escolhidos entre {1,2,3,4} → ( C_{4,3} = 4 ) conjuntos; cada conjunto pode ser permutado de ( 3! = 6 ) formas → ( 4 \times 6 = 24 ).

  • Se D1 = 4: os três menores são necessariamente {1,2,3} → 1 conjunto; permutação: 6 formas → 6.

  Total de sequências de algarismos: ( 24 + 6 = 30 ).

Total de senhas: ( 10 \times 30 = 300 ).

Senhas favoráveis (iniciam com B e terminam com 2)

• Letras: A primeira letra é B. As outras duas devem ser escolhidas entre {C, D, E} (letras posteriores a B) e colocadas em ordem crescente. Número de escolhas: combinação de 2 entre 3 → ( C_{3,2} = 3 ) (triplas: BCD, BCE, BDE).

• Algarismos: O último algarismo (posição 7) é fixo como 2. O primeiro algarismo (D1) deve ser maior que os três seguintes, que incluem o 2. Possibilidades:

  • D1 = 5: os três menores (incluindo 2) devem ser escolhidos entre {1,2,3,4} com 2 fixo. Escolha de 2 outros entre {1,3,4}: ( C_{3,2} = 3 ); os dois algarismos intermediários permutam: ( 2! = 2 ) → ( 3 \times 2 = 6 ).

  • D1 = 4: os três menores (incluindo 2) são necessariamente {1,2,3} (1 conjunto); permutação dos dois intermediários: 2 → 2.

  Total de sequências de algarismos favoráveis: ( 6 + 2 = 8 ).

Favoráveis: ( 3 \times 8 = 24 ).

Probabilidade: ( P = 24 / 300 = 0,08 = 8\% ).

Análise das alternativas

Alternativa A — ❌ Incorreta (6%)

O valor 6% seria obtido se houvesse um erro de contagem, por exemplo, desconsiderando a permutação dos algarismos ou trocando o número de letras.

Alternativa B — ✅ Correta (8%) ⟵ GABARITO

Exatamente a probabilidade calculada: 8%.

Alternativa C — ❌ Incorreta (4%)

Resultaria, por exemplo, de considerar apenas um dos casos de D1 (4 ou 5) ou esquecer a permutação dos dígitos.

Alternativa D — ❌ Incorreta (5%)

Pode surgir ao inverter a contagem de letras ou algarismos.

Alternativa E — ❌ Incorreta (7%)

Próximo do correto, mas não corresponde ao cálculo preciso.

Gabarito: letra B