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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2025

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
vu091167
Banca
VUNESP
Órgão
ARSESP
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Especialista em Regulação e Fiscalização de Serviços Públicos - Área de Conhecimento/Ênfases: Energia Elétrica
Um artesão tinha à sua disposição um bloco compacto de madeira, com formato cúbico, cujo volume era de 4.096 cm³ . Ele dividiu esse cubo, sem perda de material, em oito cubos iguais. Quatro desses cubos o artesão desbastou até que ficassem, cada um, com o formato de um cilindro, cuja base circular tinha diâmetro de medida igual à aresta do cubo e cuja altura era a mesma altura do cubo; outros três desses cubos ele desbastou até que ficassem cada um com o formato de uma pirâmide cuja base era uma das faces do cubo e cuja altura era igual à altura do cubo; um desses oito cubos o artesão não alterou.Ao realizar esse trabalho de criação dessas oito peças, o volume de madeira que o artesão desbastou correspondia, em relação ao bloco de madeira inicial, aAdote: π = 3
  1. A40%
  2. B45%
  3. C37,5%
  4. D25%
  5. E32,5%
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 37,5%

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 37,5% (alternativa C).

A ideia por trás

O volume de um cubo é dado por V = a³, onde a é a aresta. Quando dividimos um cubo em 8 cubos iguais, cada cubo menor tem aresta igual à metade da aresta original. O volume de um cilindro é V = π·r²·h, e o de uma pirâmide é V = (1/3)·A_base·h. O volume desbastado é a diferença entre o volume do cubo original e o volume das peças finais. Nesta questão, precisamos calcular o volume de cada peça, subtrair do volume do cubo menor correspondente, somar os desbastes e comparar com o volume total.

O que a questão dá

  • volume do cubo original = 4096 cm³

  • número de cubos menores = 8

  • número de cilindros = 4

  • número de pirâmides = 3

  • número de cubos não alterados = 1

  • π = 3

O que queremos: o percentual do volume desbastado em relação ao volume inicial

Passo 1 — Calcular a aresta do cubo original

Precisamos da aresta para dividir o cubo em 8 partes iguais. O volume do cubo é dado, então extraímos a raiz cúbica.

Por que esta fórmula: O volume de um cubo é V = a³, então a aresta é a raiz cúbica do volume.

a=V3a = \sqrt[3]{V}

De onde vem cada valor: VV = enunciado: 4096 cm³

a=40963=16 cma = \sqrt[3]{4096} = \boxed{16\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a raiz cúbica de 4096 é 16, não 8.

Passo 2 — Calcular a aresta de cada cubo menor

O cubo foi dividido em 8 cubos iguais, então cada cubo menor tem aresta igual à metade da aresta original.

Por que esta fórmula: Dividir o cubo em 8 partes iguais significa dividir cada dimensão por 2, então a aresta menor é a aresta original dividida por 2.

a′=a2a' = \frac{a}{2}

De onde vem cada valor: aa = passo 1: 16 cm

a′=162=8 cma' = \frac{16}{2} = \boxed{8\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir por 8 em vez de por 2, pois são 8 cubos, mas a divisão é em cada dimensão.

Passo 3 — Calcular o volume de cada cubo menor

Precisamos do volume do cubo menor para depois subtrair o volume da peça esculpida e achar o volume desbastado.

Por que esta fórmula: O volume de um cubo é aresta ao cubo.

Vcubo=(a′)3V_{cubo} = (a')^{3}

De onde vem cada valor: a′a' = passo 2: 8 cm

Vcubo=83=512 cm3V_{cubo} = 8^{3} = \boxed{512\ \text{cm}^{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a aresta original (16) em vez da aresta menor (8).

Passo 4 — Calcular o volume de um cilindro

Cada cilindro é formado a partir de um cubo menor, com diâmetro da base igual à aresta do cubo e altura igual à aresta. Precisamos do volume do cilindro para saber quanto sobrou.

Por que esta fórmula: O volume de um cilindro é área da base (πr²) vezes altura. O diâmetro é 8 cm, então o raio é 4 cm.

Vcil=π⋅r2⋅hV_{cil} = \pi \cdot r^{2} \cdot h

De onde vem cada valor: π\pi = enunciado: 3 · rr = passo 2: diâmetro 8 cm, raio = 4 cm · hh = passo 2: 8 cm

Vcil=3⋅42⋅8=384 cm3V_{cil} = 3 \cdot 4^{2} \cdot 8 = \boxed{384\ \text{cm}^{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o diâmetro em vez do raio na fórmula.

Passo 5 — Calcular o volume desbastado por cilindro

O volume desbastado é a diferença entre o volume do cubo original e o volume do cilindro.

Por que esta fórmula: O material retirado é o que sobra do cubo após esculpir o cilindro.

Vdesc,cil=Vcubo−VcilV_{desc,cil} = V_{cubo} - V_{cil}

De onde vem cada valor: VcuboV_{cubo} = passo 3: 512 cm³ · VcilV_{cil} = passo 4: 384 cm³

Vdesc,cil=512−384=128 cm3V_{desc,cil} = 512 - 384 = \boxed{128\ \text{cm}^{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir o volume do cilindro com o volume desbastado.

Passo 6 — Calcular o volume desbastado total dos cilindros

São 4 cilindros, então multiplicamos o desbaste de um por 4.

Por que esta fórmula: O total é a soma dos desbastes individuais.

Vdesc,4cil=4⋅Vdesc,cilV_{desc,4cil} = 4 \cdot V_{desc,cil}

De onde vem cada valor: Vdesc,cilV_{desc,cil} = passo 5: 128 cm³

Vdesc,4cil=4⋅128=512 cm3V_{desc,4cil} = 4 \cdot 128 = \boxed{512\ \text{cm}^{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 4.

Passo 7 — Calcular o volume de uma pirâmide

Cada pirâmide tem base igual a uma face do cubo e altura igual à aresta. Precisamos do volume da pirâmide para calcular o desbaste.

Por que esta fórmula: O volume de uma pirâmide é um terço da área da base vezes a altura. A base é um quadrado de lado 8 cm.

Vpir=13⋅Ab⋅hV_{pir} = \frac{1}{3} \cdot A_b \cdot h

De onde vem cada valor: AbA_b = passo 2: 8² = 64 cm² · hh = passo 2: 8 cm

Vpir=13⋅64⋅8=5123cm3V_{pir} = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 8 = \boxed{\frac{512}{3} cm^{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o fator 1/3.

Passo 8 — Calcular o volume desbastado por pirâmide

O desbaste é a diferença entre o volume do cubo e o volume da pirâmide.

Por que esta fórmula: O material retirado é o que sobra do cubo após esculpir a pirâmide.

Vdesc,pir=Vcubo−VpirV_{desc,pir} = V_{cubo} - V_{pir}

De onde vem cada valor: VcuboV_{cubo} = passo 3: 512 cm³ · VpirV_{pir} = passo 7: 512/3 cm³

Vdesc,pir=512−5123=10243cm3V_{desc,pir} = 512 - \frac{512}{3} = \boxed{\frac{1024}{3} cm^{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair ao contrário, dando volume negativo.

Passo 9 — Calcular o volume desbastado total das pirâmides

São 3 pirâmides, então multiplicamos o desbaste de uma por 3.

Por que esta fórmula: O total é a soma dos desbastes individuais.

Vdesc,3pir=3⋅Vdesc,pirV_{desc,3pir} = 3 \cdot V_{desc,pir}

De onde vem cada valor: Vdesc,pirV_{desc,pir} = passo 8: 1024/3 cm³

Vdesc,3pir=3⋅10243=1024 cm3V_{desc,3pir} = 3 \cdot \frac{1024}{3} = \boxed{1024\ \text{cm}^{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 3.

Passo 10 — Calcular o volume total desbastado

Somamos o desbaste dos cilindros e das pirâmides. O cubo não alterado não contribui.

Por que esta fórmula: O volume total desbastado é a soma dos desbastes de todas as peças.

Vdesc,total=Vdesc,4cil+Vdesc,3pirV_{desc,total} = V_{desc,4cil} + V_{desc,3pir}

De onde vem cada valor: Vdesc,4cilV_{desc,4cil} = passo 6: 512 cm³ · Vdesc,3pirV_{desc,3pir} = passo 9: 1024 cm³

Vdesc,total=512+1024=1536 cm3V_{desc,total} = 512 + 1024 = \boxed{1536\ \text{cm}^{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar os dois tipos de desbaste.

Passo 11 — Calcular a porcentagem do volume desbastado

A questão pede a porcentagem em relação ao bloco inicial. Dividimos o volume desbastado pelo volume total e multiplicamos por 100.

Por que esta fórmula: Porcentagem é a razão entre a parte e o todo, vezes 100.

%=Vdesc,totalVinicial×100\% = \frac{V_{desc,total}}{V_{inicial}} \times 100

De onde vem cada valor: Vdesc,totalV_{desc,total} = passo 10: 1536 cm³ · VinicialV_{inicial} = enunciado: 4096 cm³

%=15364096×100=37,5 %\% = \frac{1536}{4096} \times 100 = \boxed{37{,}5\ \%}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular a porcentagem do volume restante em vez do desbastado.

Resposta: 37,5% (alternativa C)

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