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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2025

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
vu091214
Banca
VUNESP
Órgão
ARSESP
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Especialista em Regulação e Fiscalização de Serviços Públicos - Área de Conhecimento/Ênfases: Gás Canalizado
Um artesão tinha à sua disposição um bloco compacto de madeira, com formato cúbico, cujo volume era de 4.096 cm³ . Ele dividiu esse cubo, sem perda de material, em oito cubos iguais. Quatro desses cubos o artesão desbastou até que ficassem, cada um, com o formato de um cilindro, cuja base circular tinha diâmetro de medida igual à aresta do cubo e cuja altura era a mesma altura do cubo; outros três desses cubos ele desbastou até que ficassem cada um com o formato de uma pirâmide cuja base era uma das faces do cubo e cuja altura era igual à altura do cubo; um desses oito cubos o artesão não alterou.Ao realizar esse trabalho de criação dessas oito peças, o volume de madeira que o artesão desbastou correspondia, em relação ao bloco de madeira inicial, aAdote: π = 3
  1. A40%
  2. B37,5%
  3. C25%
  4. D32,5%
  5. E45%
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 37,5%

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 37,5% — alternativa B.

A ideia por trás

O volume de um sólido mede o espaço que ele ocupa. Para o cubo, é aresta ao cubo; para o cilindro, é a área da base circular vezes a altura; para a pirâmide, é um terço da área da base vezes a altura. A relação central é que, ao transformar um cubo em cilindro ou pirâmide, parte da madeira é retirada, e o volume desbastado é a diferença entre o volume original e o volume final. Nesta questão, precisamos calcular o volume de cada peça final, somá-los e comparar com o volume inicial para achar a porcentagem.

O que a questão dá

  • volume do cubo inicial = 4096 cm³

  • número de cubos menores = 8

  • π = 3

O que queremos: a porcentagem do volume desbastado em relação ao volume inicial

Passo 1 — Descobrir a aresta do cubo grande

Precisamos da aresta para dividir o cubo em 8 partes iguais e depois calcular os volumes das peças. A aresta é a raiz cúbica do volume.

Por que esta fórmula: O volume de um cubo é V = a³, então para achar a aresta invertemos: a = ∛V.

a=V3a = \sqrt[3]{V}

De onde vem cada valor: VV = enunciado: 4096 cm³

a=40963=16 cma = \sqrt[3]{4096} = \boxed{16\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que é raiz cúbica e tentar raiz quadrada, dando 64.

Passo 2 — Calcular a aresta de cada cubo menor

O cubo grande é dividido em 8 cubos iguais, então cada cubo menor tem aresta igual à metade da aresta do cubo grande.

Por que esta fórmula: Dividir o cubo em 8 partes iguais significa dividir cada dimensão por 2, então a aresta menor é a aresta grande dividida por 2.

amenor=a2a_{menor} = \frac{a}{2}

De onde vem cada valor: aa = passo 1: 16 cm

amenor=162=8 cma_{menor} = \frac{16}{2} = \boxed{8\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir o volume por 8 em vez da aresta, achando 512 cm.

Passo 3 — Calcular o volume de cada cubo menor

Precisamos do volume de cada cubo menor para comparar com os volumes das peças transformadas e para o cubo que não foi alterado.

Por que esta fórmula: O volume de um cubo é aresta ao cubo.

Vcubo=amenor3V_{cubo} = a_{menor}^{3}

De onde vem cada valor: amenora_{menor} = passo 2: 8 cm

Vcubo=83=512 cm3V_{cubo} = 8^{3} = \boxed{512\ \text{cm}^{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Elevar ao quadrado em vez de ao cubo, dando 64.

Passo 4 — Calcular o volume de um cilindro

Quatro cubos são transformados em cilindros. O volume do cilindro é a área da base circular vezes a altura; aqui o diâmetro é a aresta do cubo (8 cm) e a altura é a mesma (8 cm).

Por que esta fórmula: O volume de um cilindro é V = π·r²·h, onde r é o raio da base e h a altura. O raio é metade do diâmetro.

Vcil=π⋅r2⋅hV_{cil} = \pi \cdot r^{2} \cdot h

De onde vem cada valor: π\pi = enunciado: 3 · rr = diâmetro = 8 cm, então raio = 4 cm (passo 2) · hh = passo 2: 8 cm

Vcil=3⋅42⋅8=384 cm3V_{cil} = 3 \cdot 4^{2} \cdot 8 = \boxed{384\ \text{cm}^{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o diâmetro (8) em vez do raio (4) na fórmula, dando 1536 cm³.

Passo 5 — Calcular o volume de uma pirâmide

Três cubos são transformados em pirâmides. A base é uma face do cubo (quadrado de lado 8 cm) e a altura é a mesma do cubo (8 cm).

Por que esta fórmula: O volume de uma pirâmide é um terço da área da base vezes a altura. A base é um quadrado, então área = lado².

Vpir=13⋅Abase⋅hV_{pir} = \frac{1}{3} \cdot A_{base} \cdot h

De onde vem cada valor: AbaseA_{base} = passo 2: lado 8 cm, então área = 8² = 64 cm² · hh = passo 2: 8 cm

Vpir=13⋅64⋅8=5123cm3V_{pir} = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 8 = \boxed{\frac{512}{3} cm^{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o fator 1/3, achando 512 cm³.

Passo 6 — Somar os volumes das oito peças finais

Precisamos do volume total final para subtrair do volume inicial e achar o desbastado.

Por que esta fórmula: O volume final é a soma dos volumes de todas as peças: 4 cilindros, 3 pirâmides e 1 cubo.

Vfinal=4⋅Vcil+3⋅Vpir+VcuboV_{final} = 4 \cdot V_{cil} + 3 \cdot V_{pir} + V_{cubo}

De onde vem cada valor: VcilV_{cil} = passo 4: 384 cm³ · VpirV_{pir} = passo 5: 512/3 cm³ · VcuboV_{cubo} = passo 3: 512 cm³

Vfinal=4⋅384+3⋅5123+512=2560 cm3V_{final} = 4 \cdot 384 + 3 \cdot \frac{512}{3} + 512 = \boxed{2560\ \text{cm}^{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar pelos números de peças, somando apenas um de cada.

Passo 7 — Calcular o volume desbastado

O volume desbastado é a madeira retirada, ou seja, a diferença entre o volume inicial e o volume final das peças.

Por que esta fórmula: Volume desbastado = volume inicial - volume final.

Vdesb=Vinicial−VfinalV_{desb} = V_{inicial} - V_{final}

De onde vem cada valor: VinicialV_{inicial} = enunciado: 4096 cm³ · VfinalV_{final} = passo 6: 2560 cm³

Vdesb=4096−2560=1536 cm3V_{desb} = 4096 - 2560 = \boxed{1536\ \text{cm}^{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair ao contrário, dando número negativo.

Passo 8 — Transformar o volume desbastado em porcentagem

A questão pede a porcentagem em relação ao bloco inicial, então dividimos o desbastado pelo inicial e multiplicamos por 100.

Por que esta fórmula: Porcentagem = (parte / total) × 100%.

%=VdesbVinicial×100\% = \frac{V_{desb}}{V_{inicial}} \times 100

De onde vem cada valor: VdesbV_{desb} = passo 7: 1536 cm³ · VinicialV_{inicial} = enunciado: 4096 cm³

%=15364096×100=37,5 %\% = \frac{1536}{4096} \times 100 = \boxed{37{,}5\ \%}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular a porcentagem sobre o volume final em vez do inicial.

Resposta: 37,5% — alternativa B

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