Estatística · VUNESP · 2025 | Questão sqc-vu091593

Distribuição de Poisson: probabilidade de pelo menos uma infecção

Gabarito: letra E (63,2%). Quando a multiplicidade de infecção é 1, o número de vírus que infectam uma célula segue uma distribuição de Poisson com parâmetro λ = 1. A porcentagem de células infectadas é a probabilidade de uma célula receber pelo menos um vírus, que é o complemento da probabilidade de receber zero vírus: P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − e⁻¹ ≈ 0,632 = 63,2%.

A distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta que descreve o número de ocorrências de um evento em um intervalo fixo (de tempo, área, volume etc.), quando as ocorrências são aleatórias, independentes e ocorrem a uma taxa média constante. No contexto da questão, o "intervalo" é a célula, e o "evento" é a entrada de um vírus. A função de probabilidade é:

P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}

em que λ é o número médio de ocorrências no intervalo (a multiplicidade de infecção) e k é o número de ocorrências cuja probabilidade se deseja calcular.

A pegadinha central está em interpretar "porcentagem de células infectadas". Uma célula é considerada infectada se receber um ou mais vírus — não apenas exatamente um. Portanto, não se calcula P(X = 1), mas sim P(X ≥ 1). Como a soma de todas as probabilidades é 1, o caminho mais rápido é usar o complemento:

P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - \frac{e^{-1} \cdot 1^0}{0!} = 1 - e^{-1} \approx 1 - 0,3679 = 0,6321

Ou seja, aproximadamente 63,2% das células serão infectadas. Esse resultado é um clássico da distribuição de Poisson com λ = 1: a probabilidade de pelo menos um evento é sempre 1 − e⁻¹ ≈ 63,2%, independentemente do contexto (chamadas telefônicas, decaimento radioativo, chegada de clientes etc.).

Caso	Atribuição (λ = 1)	Probabilidade calculada	Resultado
Célula recebe exatamente 0 vírus	P(X = 0) = e⁻¹	≈ 0,3679	36,8%
Célula recebe exatamente 1 vírus	P(X = 1) = e⁻¹	≈ 0,3679	36,8%
Célula recebe ≥ 1 vírus (infectada)	P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0)	1 − e⁻¹	≈ 0,6321 = 63,2%
Célula recebe ≥ 1 vírus (alternativa D)	P(X ≥ 1) = 1	1	100% (incorreto)

Alternativa A — ❌ Incorreta

57,0% não corresponde a nenhum cálculo direto com λ = 1. Não há base estatística para esse valor; provavelmente é um distrator numérico aleatório.

Alternativa B — ❌ Incorreta

99,3% seria o resultado se λ fosse bem maior (por exemplo, λ ≈ 5, pois 1 − e⁻⁵ ≈ 0,993). Com λ = 1, a probabilidade de pelo menos uma infecção é bem menor.

Alternativa C — ❌ Incorreta

90% também não corresponde ao cálculo com λ = 1. Para se obter 90% de células infectadas, seria necessário λ ≈ 2,3 (pois 1 − e⁻²·³ ≈ 0,90).

Alternativa D — ❌ Incorreta

100% seria verdadeiro apenas se todas as células recebessem pelo menos um vírus com certeza, o que não ocorre na distribuição de Poisson: há sempre uma probabilidade positiva (e⁻¹ ≈ 36,8%) de uma célula não receber nenhum vírus.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

63,2% é exatamente 1 − e⁻¹, o complemento da probabilidade de zero infecções. Com λ = 1, P(X = 0) = e⁻¹ ≈ 0,3679, logo P(X ≥ 1) ≈ 0,6321 = 63,2%. É a única alternativa que reflete corretamente o modelo de Poisson.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre "exatamente um vírus" e "pelo menos um vírus". Muitos candidatos calculam P(X = 1) = e⁻¹ ≈ 36,8% e, ao não encontrar essa opção, podem se perder. O termo "infectadas" significa que a célula recebeu um ou mais vírus, então o cálculo correto é o complemento de P(X = 0). Lembre-se: em Poisson, P(X ≥ 1) = 1 − e⁻λ. Com λ = 1, isso dá sempre 63,2%.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de Poisson que pedem "pelo menos um", "no mínimo um" ou "infectada", use sempre o complemento: calcule P(X = 0) e subtraia de 1. Decore o valor de e⁻¹ ≈ 0,368, pois ele aparece com frequência. Se a alternativa trouxer 63,2% (ou 63%), é quase certo que é a resposta para λ = 1.

Gabarito: letra E.