Questão de Raciocínio Lógico — Análise Combinatória em Raciocínio Lógico — VUNESP 2025

Análise Combinatória: senha com grupos de caracteres

Gabarito: letra E — o número de senhas possíveis é 144.000, que está no intervalo entre 121.000 e 181.000. A resolução combina o princípio multiplicativo (para escolher os caracteres de cada grupo) com a permutação dos grupos entre si, e a pegadinha está em esquecer de multiplicar pela permutação dos 3 blocos.

Vamos decompor o problema. A senha tem 7 posições, divididas em 3 blocos: 2 letras, 2 símbolos e 3 algarismos. Cada bloco tem suas regras de escolha, e depois os blocos podem ser ordenados de qualquer forma.

1. Escolha das letras (2 letras distintas de A a E): Temos 5 letras disponíveis (A, B, C, D, E) e precisamos escolher 2 distintas. Como a ordem dentro do bloco importa (são posições diferentes na senha), usamos arranjo simples: $A_{5,2} = 5 \times 4 = 20$.

2. Escolha dos símbolos (2 símbolos distintos dentre 4): Analogamente, $A_{4,2} = 4 \times 3 = 12$.

3. Escolha dos algarismos (3 algarismos de 1 a 5, podendo repetir): Aqui a ordem importa e a repetição é permitida, então usamos o princípio multiplicativo: $5 \times 5 \times 5 = 125$.

4. Ordenação dos blocos: Temos 3 blocos (letras, símbolos, algarismos) que podem aparecer em qualquer ordem. O número de maneiras de ordenar 3 blocos é a permutação simples: $3! = 6$.

Multiplicando tudo:

O resultado 144.000 está entre 121.000 e 181.000, portanto a alternativa correta é a letra E.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o número está entre 31.000 e 61.000. Esse valor é muito baixo. Provavelmente o candidato esqueceu de multiplicar pela permutação dos blocos ($3! = 6$) e/ou usou combinação em vez de arranjo para letras e símbolos. Por exemplo, se usasse combinação para letras ($C_{5,2}=10$) e símbolos ($C_{4,2}=6$), e não multiplicasse pela ordem dos blocos, teria $10 \times 6 \times 125 = 7.500$, ainda menor. O valor 31.000–61.000 não corresponde a nenhuma combinação razoável dos cálculos.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que o número está entre 61.000 e 121.000. Esse intervalo também é baixo. Um erro comum que leva a um valor nessa faixa é esquecer de multiplicar pela permutação dos blocos ($3! = 6$). Sem essa multiplicação, teríamos $20 \times 12 \times 125 = 30.000$, que ainda está abaixo. Outro erro possível é usar arranjo para letras e símbolos, mas esquecer a ordem dos blocos, resultando em 30.000. Para chegar a algo entre 61.000 e 121.000, talvez o candidato tenha feito $20 \times 12 \times 125 \times 3 = 90.000$ (multiplicando por 3 em vez de 6), o que mostra a confusão entre o número de blocos e a permutação deles.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que o número está entre 181.000 e 241.000. Esse intervalo é alto demais. Um erro que levaria a esse valor seria, por exemplo, considerar que as letras podem ser repetidas ($5 \times 5 = 25$) e os símbolos também ($4 \times 4 = 16$), resultando em $25 \times 16 \times 125 \times 6 = 300.000$, que já passa de 241.000. Outro erro seria usar $5 \times 4 \times 4 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5 \times 6 = 180.000$, que está no limite inferior, mas ainda não é o cálculo correto. O valor 144.000 está abaixo desse intervalo.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que o número está entre 241.000 e 301.000. Esse intervalo é ainda mais alto. O erro que leva a esse valor é permitir repetição de letras e símbolos, como mencionado: $25 \times 16 \times 125 \times 6 = 300.000$. Ou talvez o candidato tenha usado $5 \times 4 \times 4 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5 \times 6 = 180.000$ e depois multiplicado por algo a mais, mas o valor correto é 144.000, bem abaixo.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O cálculo correto é:

• Letras: $A_{5,2} = 5 \times 4 = 20$

• Símbolos: $A_{4,2} = 4 \times 3 = 12$

• Algarismos: $5^3 = 125$

• Ordem dos blocos: $3! = 6$

Total: $20 \times 12 \times 125 \times 6 = 144.000$, que está entre 121.000 e 181.000.

Gabarito: letra E