Observe as afirmações compostas e o respectivo valor lógico:I. Se Bruno é bibliotecário, então Aline é arquiteta. Verdade.II. Se Eliane é economista, então Carla é cozinheira. Falsidade.III. Débora é dentista e Bruno é bibliotecário. Falsidade.IV. Carla é cozinheira ou Débora é dentista. Verdade.A partir dessas informações, é necessariamente verdade a afirmação
ABruno não é bibliotecário ou Aline não é arquiteta.
BEliane é economista e Aline é arquiteta.
CSe Carla não é cozinheira, então Débora não é dentista.
DOu Carla é cozinheira ou Bruno é bibliotecário.
EEliane é economista e Débora não é dentista.
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GabaritoA — Bruno não é bibliotecário ou Aline não é arquiteta.
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Equivalência Lógica e Negação de Proposições
Gabarito: letra A. A partir das premissas, conclui-se que Bruno não é bibliotecário (pois a condicional I é verdadeira e a conjunção III é falsa) e que Aline não é arquiteta (pois a condicional I é verdadeira e o antecedente é falso, o que força o consequente a ser falso). Logo, a disjunção "Bruno não é bibliotecário ou Aline não é arquiteta" é necessariamente verdadeira.
Vamos entender o raciocínio passo a passo. O problema fornece quatro proposições compostas com seus valores lógicos e pede para identificar qual alternativa é necessariamente verdadeira. A chave está em extrair os valores lógicos das proposições simples a partir das compostas.
Primeiro, vamos definir as proposições simples:
B: Bruno é bibliotecário
A: Aline é arquiteta
E: Eliane é economista
C: Carla é cozinheira
D: Débora é dentista
Agora, analisemos cada afirmação:
I. Se Bruno é bibliotecário, então Aline é arquiteta. (Verdade) Simbolicamente: é verdadeira.
II. Se Eliane é economista, então Carla é cozinheira. (Falsidade) Simbolicamente: é falsa. Uma condicional só é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso. Portanto, E é verdadeira e C é falsa.
III. Débora é dentista e Bruno é bibliotecário. (Falsidade) Simbolicamente: é falsa. Uma conjunção só é falsa quando pelo menos um dos componentes é falso. Portanto, D é falsa ou B é falsa (ou ambos).
IV. Carla é cozinheira ou Débora é dentista. (Verdade) Simbolicamente: é verdadeira. Uma disjunção inclusiva é verdadeira quando pelo menos um dos componentes é verdadeiro. Como já sabemos que C é falsa (da afirmação II), para que a disjunção seja verdadeira, D deve ser verdadeira.
Agora, com D verdadeira, voltamos à afirmação III: é falsa. Como D é verdadeira, para a conjunção ser falsa, B deve ser falsa. Portanto, Bruno não é bibliotecário.
Com B falsa, voltamos à afirmação I: é verdadeira. Uma condicional com antecedente falso é sempre verdadeira, independentemente do valor de A. Portanto, A pode ser verdadeira ou falsa — não podemos determinar o valor de A diretamente da afirmação I.
Mas a alternativa A afirma "Bruno não é bibliotecário ou Aline não é arquiteta", ou seja, . Como já sabemos que é verdadeira (Bruno não é bibliotecário), a disjunção é verdadeira independentemente do valor de . Portanto, a alternativa A é necessariamente verdadeira.
Vamos analisar as demais alternativas:
Proposição
Valor Lógico
Justificativa
E
V
E → C é falsa ⇒ antecedente V e consequente F
C
F
E → C é falsa ⇒ consequente F
D
V
C ∨ D é verdadeira e C é F ⇒ D é V
B
F
D ∧ B é falsa e D é V ⇒ B é F
A
V ou F
B → A é verdadeira e B é F ⇒ A indeterminado
¬B ∨ ¬A
V
¬B é V ⇒ disjunção verdadeira (alternativa A)
Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO
A alternativa afirma "Bruno não é bibliotecário ou Aline não é arquiteta", ou seja, . Como demonstramos, é verdadeira (Bruno não é bibliotecário). Numa disjunção inclusiva, se um dos componentes é verdadeiro, a proposição inteira é verdadeira, independentemente do valor do outro. Portanto, a alternativa A é necessariamente verdadeira.
Alternativa B — ❌ Incorreta
A alternativa afirma "Eliane é economista e Aline é arquiteta", ou seja, . Sabemos que E é verdadeira (da afirmação II), mas não sabemos o valor de A. Se A for falsa, a conjunção é falsa. Portanto, não podemos afirmar que é necessariamente verdadeira.
Alternativa C — ❌ Incorreta
A alternativa afirma "Se Carla não é cozinheira, então Débora não é dentista", ou seja, . Sabemos que C é falsa (logo é verdadeira) e D é verdadeira (logo é falsa). Portanto, a condicional tem antecedente verdadeiro e consequente falso, o que a torna falsa. A alternativa C é necessariamente falsa.
Alternativa D — ❌ Incorreta
A alternativa afirma "Ou Carla é cozinheira ou Bruno é bibliotecário", ou seja, (disjunção exclusiva). Sabemos que C é falsa e B é falsa. Numa disjunção exclusiva, a proposição é verdadeira apenas quando os dois componentes têm valores diferentes. Como ambos são falsos, a proposição é falsa. Portanto, a alternativa D é necessariamente falsa.
Alternativa E — ❌ Incorreta
A alternativa afirma "Eliane é economista e Débora não é dentista", ou seja, . Sabemos que E é verdadeira, mas D é verdadeira (logo é falsa). Numa conjunção, se um dos componentes é falso, a proposição inteira é falsa. Portanto, a alternativa E é necessariamente falsa.
NÃO CAIA NESSA!
A banca explora a dificuldade de extrair os valores lógicos das proposições simples a partir das compostas. O candidato pode errar ao não perceber que a condicional I, com antecedente falso, é verdadeira independentemente do consequente, e que a conjunção III, com D verdadeira, força B a ser falsa. A chave é analisar cada afirmação na ordem certa, usando as informações já obtidas.
PEGA ESSA DICA!
Em questões de lógica proposicional, comece pelas proposições compostas que têm valor lógico fixo (como a condicional falsa e a disjunção verdadeira). Elas fornecem informações diretas sobre os valores das proposições simples. Depois, use essas informações para resolver as demais. Pratique a extração de valores lógicos com exercícios de concursos anteriores.