Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — VUNESP 2025

Probabilidade total: Lei da Probabilidade Total

Gabarito: letra D. A probabilidade de ocorrer o evento B é de 63,33%, valor que se situa entre 60% e 70%. Isso decorre da Lei da Probabilidade Total, que pondera as probabilidades condicionais de B pelas probabilidades dos eventos que particionam o espaço amostral — aqui, A e seu complemento.

A Lei da Probabilidade Total é um dos pilares do cálculo de probabilidades e aparece com frequência em concursos, quase sempre combinada com o Teorema de Bayes. Ela responde a uma pergunta prática: quando a ocorrência de um evento B depende de qual "cenário" (A ou não-A) se realiza, como calcular a probabilidade global de B? A resposta é somar as probabilidades de B em cada cenário, ponderadas pela chance de cada cenário ocorrer.

Formalmente, se os eventos $A_1, A_2, \dots, A_n$ formam uma partição do espaço amostral (são mutuamente exclusivos e sua união é o espaço todo), então:

No caso da questão, a partição é formada por A e $\bar{A}$ (complementar de A). Como A e $\bar{A}$ são mutuamente exclusivos e cobrem todo o espaço amostral, a fórmula se reduz a:

O erro mais comum dos candidatos é esquecer de calcular $P(\bar{A})$ e usar diretamente os valores fornecidos, ou confundir a fórmula com o Teorema de Bayes. A distinção é crucial: a Lei da Probabilidade Total calcula $P(B)$ — a probabilidade incondicional do evento B — enquanto o Teorema de Bayes calcula $P(A|B)$ — a probabilidade de um dos cenários dado que B ocorreu. São perguntas inversas.

Vamos aos cálculos com os dados do enunciado:

• $P(A) = \frac{1}{3}$

• $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

• $P(B|A) = \frac{2}{5}$

• $P(B|\bar{A}) = \frac{3}{4}$

Substituindo na fórmula:

Colocando no mesmo denominador (30):

Convertendo para porcentagem: $0,6333 \times 100 = 63,33\%$. Esse valor está no intervalo de 60% a 70%, o que confirma a letra D como gabarito.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que $P(B)$ está entre 30% e 40%. O cálculo correto resulta em 63,33%, muito acima desse intervalo. O erro aqui é subestimar o peso da segunda parcela: $P(\bar{A}) = 2/3$ é o dobro de $P(A) = 1/3$, e $P(B|\bar{A}) = 3/4$ é maior que $P(B|A) = 2/5$. Quem responde algo nessa faixa provavelmente usou apenas a primeira parcela ($2/15 \approx 13,3\%$) ou fez uma média simples não ponderada das condicionais, ignorando as probabilidades de A e $\bar{A}$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que $P(B)$ está entre 50% e 60%. O valor correto é 63,33%, que supera o teto de 60% dessa faixa. O erro típico aqui é errar a soma das frações: $\frac{2}{15} + \frac{1}{2}$. Se o candidato somar incorretamente como $\frac{2+1}{15+2} = \frac{3}{17} \approx 17,6\%$ ou $\frac{2}{15} + \frac{1}{2} = \frac{4}{30} + \frac{15}{30} = \frac{19}{30}$, mas depois converter errado para porcentagem (por exemplo, $19/30 \approx 0,63$ e achar que é 53%), cai nessa faixa. A conversão correta é multiplicar por 100: $0,6333 \times 100 = 63,33\%$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que $P(B)$ está entre 70% e 80%. O valor correto é 63,33%, abaixo desse intervalo. Esse erro sugere que o candidato superestimou o resultado, talvez por arredondar $P(B|\bar{A}) = 3/4$ para cima ou por considerar apenas a parcela dominante $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{2} = 50\%$ e somar algo a mais sem critério. Na verdade, a soma correta das duas parcelas ($13,33\% + 50\%$) dá exatamente 63,33%, que não alcança 70%.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que $P(B)$ está entre 60% e 70%. O cálculo pela Lei da Probabilidade Total confirma: $P(B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{2}{15} + \frac{1}{2} = \frac{19}{30} \approx 0,6333 = 63,33\%$. Esse valor está dentro do intervalo de 60% a 70%, tornando esta a alternativa correta. A questão testa diretamente a aplicação da fórmula, sem armadilhas adicionais além da correta identificação da partição do espaço amostral.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que $P(B)$ está entre 40% e 50%. O valor correto é 63,33%, bem acima dessa faixa. Esse erro pode ocorrer se o candidato calcular apenas a parcela $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{2} = 50\%$ e esquecer de somar a primeira parcela $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{15} \approx 13,33\%$. Ou ainda, se fizer a média aritmética simples das condicionais: $\frac{2/5 + 3/4}{2} = \frac{0,4 + 0,75}{2} = 0,575 = 57,5\%$, que também ficaria fora da faixa correta, mas próxima de 60%.

Gabarito: letra D