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Questão de Raciocínio Lógico — Raciocínio Matemático — VUNESP 2025

Raciocínio LógicoRaciocínio Matemático
Código
vu094647
Banca
VUNESP
Órgão
MPE-SP
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Analista de Promotoria II (Agente de Promotoria)
Uma equipe de corrida de revezamento, composta por n atletas (n>1), percorreu uma distância total d, em quilômetros, da seguinte maneira:• o primeiro corredor percorreu um quilômetro, depois percorreu mais um sexto da distância que ainda restava e parou;• o segundo corredor partiu da posição em que o primeiro corredor parou, percorreu dois quilômetros, depois percorreu mais um sexto da distância que ainda restava e parou;• o terceiro corredor partiu da posição em que o segundo corredor parou, percorreu três quilômetros, depois percorreu mais um sexto da distância que ainda restava e parou;• e assim, sucessivamente, cada corredor da equipe se revezou até percorrerem a distância total d.Sabendo que cada corredor dessa equipe percorreu o mesmo número de quilômetros, então, pode-se afirmar que
  1. An é um múltiplo de 3 e d é um número ímpar.
  2. Bn é um quadrado perfeito e d é um número múltiplo de 6.
  3. Cn é um múltiplo de 4 e d é um quadrado perfeito.
  4. Dn é um número primo e d é um quadrado perfeito.
  5. En é um número primo e d é um número par.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — n é um número primo e d é um quadrado perfeito.

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Problema de revezamento com distâncias iguais

Gabarito: letra D. A condição de que cada corredor percorre o mesmo número de quilômetros leva a (n=5) (número primo) e (d=25) (quadrado perfeito). A resolução é obtida montando as equações do percurso e igualando as distâncias.

Resolução passo a passo

Seja (d) a distância total e (n) o número de atletas. Para o corredor (i) (começando em 1):

  • Ele corre (i) km e depois mais 16\frac{1}{6} do que resta.

  • Se antes dele a distância restante é (R_{i-1}), sua distância percorrida é:

    [

    ai=i+16(Ri−1−i)=56i+16Ri−1a_i = i + \frac{1}{6}(R_{i-1} - i) = \frac{5}{6}i + \frac{1}{6}R_{i-1}

    ]

  • Após ele, resta Ri=56(Ri−1−i)R_i = \frac{5}{6}(R_{i-1} - i).

Sabendo que todos percorrem a mesma distância (a), temos (a_i = a) para todo (i). Em particular, para o último corredor ((i=n)): a=56n+16Rn−1a = \frac{5}{6}n + \frac{1}{6}R_{n-1} Como após o último corredor resta zero, Rn=0⇒Rn−1=nR_n = 0 \Rightarrow R_{n-1} = n. Substituindo: a=56n+16n=na = \frac{5}{6}n + \frac{1}{6}n = n Portanto, cada corredor percorre exatamente (n) km, e a distância total é d=n⋅a=n2d = n \cdot a = n^2.

Agora, para o primeiro corredor ((i=1)): a=56⋅1+16R0=56+16da = \frac{5}{6} \cdot 1 + \frac{1}{6}R_0 = \frac{5}{6} + \frac{1}{6}d Como (a = n) e (d = n^2), obtemos: n=56+16n2⇒6n=5+n2⇒n2−6n+5=0⇒(n−1)(n−5)=0n = \frac{5}{6} + \frac{1}{6}n^2 \Rightarrow 6n = 5 + n^2 \Rightarrow n^2 - 6n + 5 = 0 \Rightarrow (n-1)(n-5)=0 Como (n>1), (n=5). Logo (d = 5^2 = 25).

Conferindo:

  • Corredor 1: 1 km + 1/6 de 24 = 1+4 = 5 km

  • Corredor 2: 2 km + 1/6 de 18 = 2+3 = 5 km

  • Corredor 3: 3 km + 1/6 de 12 = 3+2 = 5 km

  • Corredor 4: 4 km + 1/6 de 6 = 4+1 = 5 km

  • Corredor 5: 5 km + 1/6 de 0 = 5+0 = 5 km

Assim, (n=5) (número primo) e (d=25) (quadrado perfeito).

Caso

n (atletas)

d (distância total)

n é primo?

d é quadrado perfeito?

Resultado

1

5

25

V

V

Consistente

2

n ≠ 5

d ≠ n²

F

F

Contradição

Análise das alternativas

  • Alternativa A — ❌ Incorreta: (n) não é múltiplo de 3 (5 não é múltiplo de 3) e (d) é ímpar, mas a condição dupla falha.

  • Alternativa B — ❌ Incorreta: (n) não é quadrado perfeito (5) e (d) não é múltiplo de 6 (25).

  • Alternativa C — ❌ Incorreta: (n) não é múltiplo de 4, embora (d) seja quadrado perfeito, a conjunção é falsa.

  • Alternativa D — ✅ Correta: (n=5) é primo e (d=25) é quadrado perfeito.

  • Alternativa E — ❌ Incorreta: (n) é primo, mas (d=25) é ímpar, não par.

Portanto, a única afirmação verdadeira é a letra D.

Gabarito: letra D

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