Em um escritório com certo número de funcionários, a média dos salários, em setembro, era R$ 3.600,00. Em outubro, dois novos funcionários foram contratados em semanas diferentes. Na primeira semana de outubro, o primeiro funcionário foi contratado, de maneira que a média dos salários dos funcionários do escritório passou a ser R$ 3.500,00, e na terceira semana de outubro, o segundo funcionário foi contratado, fazendo com que a média dos salários mudasse para R$ 3.550,00. Sabendo que o salário do segundo funcionário contratado na terceira semana de outubro é R$ 1.150,00 a mais do que o salário do primeiro funcionário contrato na primeira semana de outubro, o número de funcionários do escritório após essas duas contratações passou a ser
A13.
B11.
C9.
D8.
E15.
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GabaritoC — 9.
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Resolução
Gabarito: letra C — a conta chega a 9 funcionários (alternativa C).
A ideia por trás
A média aritmética de um conjunto é a soma de todos os valores dividida pela quantidade de valores. Quando um novo elemento entra, a nova média é a soma total (antiga + novo valor) dividida pela nova quantidade. Aqui, cada contratação altera tanto a soma quanto a quantidade, então montamos equações para descobrir o número inicial de funcionários. A relação que governa é Média = Soma / Quantidade; se a média aumenta ou diminui, isso reflete a diferença entre o novo salário e a média anterior. Nesta questão, usamos as duas contratações para montar um sistema e achar o valor de n.
O que a questão dá
média em setembro = R$ 3.600,00
média após 1ª contratação = R$ 3.500,00
média após 2ª contratação = R$ 3.550,00
salário do 2º funcionário = salário do 1º + R$ 1.150,00
O que queremos: o número total de funcionários após as duas contratações
Passo 1 — Definir as incógnitas iniciais
Precisamos de nomes para o que não sabemos: o número de funcionários em setembro (n) e a soma dos salários deles (S). A média de setembro nos dá a primeira relação entre eles.
Por que esta fórmula: A definição de média aritmética: média = soma / quantidade. Como a média é 3600 e a quantidade é n, temos S/n = 3600.
De onde vem cada valor: = soma dos salários em setembro (definida por nós) · = enunciado: média em setembro = R$ 3.600,00 · = número de funcionários em setembro (incógnita)
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer que S é a soma total, não a média.
Passo 2 — Montar a equação da primeira contratação
Com a entrada do funcionário A, a quantidade passa a n+1 e a soma passa a S + x (onde x é o salário de A). A nova média é 3500, então montamos a equação.
Por que esta fórmula: A nova média é (soma antiga + novo salário) dividida pela nova quantidade. Isso vem da definição de média.
De onde vem cada valor: = passo 1: S = 3600n · = salário do primeiro funcionário contratado (incógnita) · = quantidade após a primeira contratação · = enunciado: nova média = R$ 3.500,00
NÃO CAIA NESSA!
Usar n em vez de n+1 no denominador.
Passo 3 — Isolar o salário do primeiro funcionário
Precisamos de uma expressão para x em função de n, para substituir depois. Multiplicamos ambos os lados por (n+1) e isolamos x.
Por que esta fórmula: Multiplicar cruzado elimina a fração e permite separar x.
De onde vem cada valor: = passo 2: média após 1ª contratação · = passo 2: 3600 - 3500 = 100 · = número inicial de funcionários
NÃO CAIA NESSA!
Errar o sinal ao passar termos: 3600n - 3500n = 100n, então x = 3500 - 100n.
Passo 4 — Montar a equação da segunda contratação
Com a entrada do funcionário B, a quantidade passa a n+2 e a soma passa a S + x + (x+1150). A nova média é 3550, então montamos a equação.
Por que esta fórmula: A nova média é a soma total dividida pela nova quantidade. O salário de B é x + 1150, conforme o enunciado.
De onde vem cada valor: = passo 1: S = 3600n · = passo 3: salário do primeiro funcionário · = enunciado: salário do segundo = primeiro + 1150 · = quantidade após as duas contratações · = enunciado: média após 2ª contratação = R$ 3.550,00
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de somar 1150 ao salário de B.
Passo 5 — Simplificar a equação da segunda contratação
Vamos multiplicar cruzado e simplificar para obter uma relação entre x e n.
Por que esta fórmula: Multiplicar por (n+2) elimina a fração; depois isolamos os termos com x.
De onde vem cada valor: = passo 4: x + x = 2x · = passo 4: 3550*2 = 7100, 7100 - 1150 = 5950 · = passo 4: 3600 - 3550 = 50 · = número inicial de funcionários
NÃO CAIA NESSA!
Errar a subtração: 3550*2 = 7100, menos 1150 = 5950.
Passo 6 — Substituir x na segunda equação
Temos duas equações com x e n. Substituímos a expressão de x (passo 3) na equação do passo 5 para ficar só com n.
Por que esta fórmula: Substituição é o método para resolver sistemas: trocamos x por 3500 - 100n.
De onde vem cada valor: = passo 3: x = 3500 - 100n · = passo 5: 2x = 5950 - 50n
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de multiplicar o 2 por ambos os termos dentro do parêntese.
Passo 7 — Resolver a equação para n
Agora temos uma equação linear simples. Vamos distribuir, juntar os termos e isolar n.
Por que esta fórmula: Distributiva e operações algébricas básicas para isolar a incógnita.
De onde vem cada valor: = passo 6: 23500 = 7000 · = passo 6: 2100 = 200 · = passo 5: termo independente · = passo 5: coeficiente de n · = passo 6: 7000 - 5950 = 1050 · = passo 6: 200 - 50 = 150
NÃO CAIA NESSA!
Errar o sinal ao mover termos: -200n + 50n = -150n, então 1050 = 150n.
Passo 8 — Calcular o total após as contratações
O problema pede o número de funcionários após as duas contratações. Já sabemos que em setembro eram 7; com as duas entradas, o total é 7 + 2.
Por que esta fórmula: Soma simples: total final = inicial + quantidade de novos funcionários.
De onde vem cada valor: = passo 7: n = 7 · = enunciado: dois novos funcionários