Questão de Matemática — Álgebra — VUNESP 2025

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a R$ 240,00 (alternativa E).

A ideia por trás

Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações que precisam ser satisfeitas ao mesmo tempo; aqui, cada equação representa o total gasto por uma pessoa, com os preços x, y e z como incógnitas. A relação que governa é a combinação linear: podemos somar ou subtrair equações (multiplicadas por números) para obter novas equações que também são verdadeiras. Isso é útil porque, em vez de resolver o sistema inteiro (achar cada preço), podemos combinar as equações de forma a isolar diretamente a soma x + y + z. Nesta questão, a sacada é que a diferença entre as duas equações dá uma expressão que, combinada com a primeira, revela a soma sem precisar achar os preços individuais.

O que a questão dá

• 5x + 7y + 9z = 1540

• 7x + 10y + 13z = 2190

O que queremos: o gasto da terceira pessoa, que é x + y + z

Passo 1 — Montar as equações das duas compras

Precisamos traduzir o enunciado para a linguagem matemática. Cada compra é uma equação: o total pago é a soma dos produtos (quantidade × preço) de cada item. Isso nos dá duas equações com as incógnitas x, y e z.

Por que esta fórmula: A equação de uma compra é sempre 'quantidade de A vezes preço de A' + 'quantidade de B vezes preço de B' + 'quantidade de C vezes preço de C' = total pago. É a definição de custo total.

De onde vem cada valor: $5$ = enunciado: primeira pessoa comprou 5 unidades de A · $x$ = enunciado: preço unitário de A · $7$ = enunciado: primeira pessoa comprou 7 unidades de B · $y$ = enunciado: preço unitário de B · $9$ = enunciado: primeira pessoa comprou 9 unidades de C · $z$ = enunciado: preço unitário de C · $1540$ = enunciado: total pago pela primeira pessoa

Passo 2 — Montar a equação da segunda compra

A segunda pessoa também comprou os três produtos, então temos outra equação. Com duas equações, podemos combiná-las para extrair informações sobre x, y e z.

Por que esta fórmula: Mesmo raciocínio do passo 1: o total pago é a soma dos produtos quantidade × preço.

De onde vem cada valor: $7$ = enunciado: segunda pessoa comprou 7 unidades de A · $x$ = enunciado: preço unitário de A · $10$ = enunciado: segunda pessoa comprou 10 unidades de B · $y$ = enunciado: preço unitário de B · $13$ = enunciado: segunda pessoa comprou 13 unidades de C · $z$ = enunciado: preço unitário de C · $2190$ = enunciado: total pago pela segunda pessoa

Passo 3 — Subtrair a primeira equação da segunda

Subtrair equações é uma operação válida que mantém a igualdade. Ao subtrair, os coeficientes de x, y e z diminuem, e o termo independente também. Isso nos dá uma equação mais simples, que será útil para isolar a soma.

Por que esta fórmula: A subtração de equações é uma combinação linear: se A = B e C = D, então A - C = B - D. Aqui, subtraímos a primeira equação da segunda para reduzir os coeficientes.

De onde vem cada valor: $7x - 5x$ = passo 2 e passo 1: coeficientes de x · $10y - 7y$ = passo 2 e passo 1: coeficientes de y · $13z - 9z$ = passo 2 e passo 1: coeficientes de z · $2190 - 1540$ = passo 2 e passo 1: termos independentes

Passo 4 — Reescrever a primeira equação separando a soma

Queremos encontrar x + y + z. A primeira equação tem 5x + 7y + 9z, que pode ser decomposta em (x + y + z) mais um resto. Esse resto, 4x + 6y + 8z, é exatamente o dobro da equação que obtivemos no passo 3, então podemos substituí-lo por um número.

Por que esta fórmula: A soma 5x + 7y + 9z pode ser vista como (x + y + z) + (4x + 6y + 8z), porque somando os termos: x+4x=5x, y+6y=7y, z+8z=9z. Isso separa a incógnita desejada.

De onde vem cada valor: $5x + 7y + 9z$ = passo 1: primeira equação · $x + y + z$ = o que queremos encontrar · $4x + 6y + 8z$ = resto da decomposição

Passo 5 — Calcular o dobro da equação do passo 3

Precisamos do valor de 4x + 6y + 8z para substituir na primeira equação. Como 4x + 6y + 8z = 2 × (2x + 3y + 4z), e já sabemos que 2x + 3y + 4z = 650, podemos calcular esse valor.

Por que esta fórmula: Multiplicar uma equação por um número é outra combinação linear válida. Aqui, multiplicamos a equação do passo 3 por 2 para obter exatamente o termo que precisamos.

De onde vem cada valor: $2x + 3y + 4z$ = passo 3: resultado da subtração · $2$ = fator para obter 4x, 6y, 8z

Passo 6 — Substituir na primeira equação e isolar a soma

Agora temos o valor de 4x + 6y + 8z. Substituindo na primeira equação reescrita, ficamos com uma equação simples envolvendo apenas x + y + z, que é o que queremos.

Por que esta fórmula: Substituição: se A = B e B = C, então A = C. Aqui, substituímos 4x + 6y + 8z por 1300 na equação do passo 4.

De onde vem cada valor: $x + y + z$ = passo 4: parte da primeira equação · $1300$ = passo 5: valor de 4x + 6y + 8z · $1540$ = passo 1: total da primeira compra

Passo 7 — Subtrair 1300 dos dois lados

Para isolar x + y + z, precisamos eliminar o 1300 do lado esquerdo. Subtraindo 1300 de ambos os lados, mantemos a igualdade e obtemos o valor procurado.

Por que esta fórmula: Propriedade da igualdade: se a = b, então a - c = b - c. Isso nos permite isolar a incógnita.

De onde vem cada valor: $1540$ = passo 1: total da primeira compra · $1300$ = passo 5: valor de 4x + 6y + 8z

Resposta: R$ 240,00 (alternativa E)