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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2025

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
vu094678
Banca
VUNESP
Órgão
MPE-SP
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Analista de Promotoria II (Agente de Promotoria)
Tem-se 384 m de fio na cor azul, 552 m de fio na cor verde e 624 m de fio na cor vermelha. Esses fios deverão ser cortados em pedaços, todos de mesmo comprimento, o maior possível, sem sobras, para a execução de um determinado projeto. Após cortados, a soma da quantidade de pedaços de fios na cor vermelha com a quantidade de pedaços de fios na cor verde excederá a quantidade de pedaços na cor azul em
  1. A30.
  2. B33.
  3. C36.
  4. D39.
  5. E27.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 33.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 33 pedaços (alternativa B).

A ideia por trás

O MDC (Máximo Divisor Comum) é o maior número que divide dois ou mais números sem deixar resto. Ele serve para dividir grandezas em partes iguais do maior tamanho possível, como cortar fios em pedaços de mesmo comprimento sem sobra. Para encontrá-lo, decompomos cada número em fatores primos e multiplicamos os fatores comuns com o menor expoente. Nesta questão, precisamos calcular o MDC dos três comprimentos para achar o tamanho de cada pedaço, depois dividir cada comprimento por esse valor para obter a quantidade de pedaços de cada cor e, por fim, fazer a subtração pedida.

O que a questão dá

  • fio azul = 384 m

  • fio verde = 552 m

  • fio vermelho = 624 m

O que queremos: a diferença entre a soma dos pedaços vermelhos e verdes e os pedaços azuis

Passo 1 — Decompor cada comprimento em fatores primos

Para achar o MDC, precisamos primeiro fatorar os números. Fatorar é escrever o número como uma multiplicação de primos, o que revela os divisores comuns.

Por que esta fórmula: A decomposição em fatores primos é o método padrão para calcular o MDC: ela mostra exatamente quais primos estão presentes em cada número e com quais expoentes.

384=27⋅3,552=23⋅3⋅23,624=24⋅3⋅13384 = 2^{7} \cdot 3, \quad 552 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 23, \quad 624 = 2^{4} \cdot 3 \cdot 13

De onde vem cada valor: 384384 = enunciado: fio azul · 552552 = enunciado: fio verde · 624624 = enunciado: fio vermelho

384=27⋅3,552=23⋅3⋅23,624=24⋅3⋅13384 = 2^{7} \cdot 3, \quad 552 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 23, \quad 624 = 2^{4} \cdot 3 \cdot 13

384 = 2^7 · 3; 552 = 2^3 · 3 · 23; 624 = 2^4 · 3 · 13

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de fatorar completamente, como deixar 552 = 2^3 · 69, o que dificulta achar o MDC.

Passo 2 — Calcular o MDC multiplicando os fatores comuns

Com as fatorações prontas, o MDC é o produto dos fatores primos que aparecem em todos os números, cada um com o menor expoente. Isso garante o maior comprimento que divide os três sem sobra.

Por que esta fórmula: O MDC é definido assim: pega-se cada primo comum e o menor expoente entre as fatorações. Aqui, o 2 aparece com expoentes 7, 3 e 4 → menor é 3; o 3 aparece em todos com expoente 1 → fica 3. O 23 e o 13 não são comuns, então ficam de fora.

MDC=23⋅3MDC = 2^{3} \cdot 3

De onde vem cada valor: 232^{3} = passo 1: menor expoente do 2 entre 7, 3 e 4 · 33 = passo 1: fator comum a todos, expoente 1

MDC=23⋅3=8⋅3=24=24 mMDC = 2^{3} \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24 = \boxed{24\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Pegar o maior expoente em vez do menor, o que daria um número maior que não divide todos.

Passo 3 — Dividir cada comprimento pelo MDC para achar os pedaços

Agora que sabemos que cada pedaço terá 24 m, a quantidade de pedaços de cada cor é o comprimento total dividido por 24. Isso usa a ideia de que o número de pedaços é o total dividido pelo tamanho de cada um.

Por que esta fórmula: Se um fio de comprimento L é cortado em pedaços de comprimento c, o número de pedaços é L ÷ c. Como o MDC é o maior c possível, essa divisão dá números inteiros.

nazul=38424,nverde=55224,nvermelho=62424n_{azul} = \frac{384}{24}, \quad n_{verde} = \frac{552}{24}, \quad n_{vermelho} = \frac{624}{24}

De onde vem cada valor: 384384 = enunciado: fio azul · 552552 = enunciado: fio verde · 624624 = enunciado: fio vermelho · 2424 = passo 2: MDC

nazul=384÷24=16,nverde=552÷24=23,nvermelho=624÷24=26n_{azul} = 384 \div 24 = 16, \quad n_{verde} = 552 \div 24 = 23, \quad n_{vermelho} = 624 \div 24 = 26

nazuln_{azul} = 16 azuis, 23 verdes, 26 vermelhos

NÃO CAIA NESSA!

Dividir na ordem errada ou usar o MDC errado, o que daria pedaços não inteiros.

Passo 4 — Somar os pedaços vermelhos e verdes

A pergunta pede a soma dos pedaços vermelhos e verdes. Somamos as quantidades obtidas no passo anterior.

Por que esta fórmula: A soma é a operação direta para combinar as duas quantidades.

S=nvermelho+nverdeS = n_{vermelho} + n_{verde}

De onde vem cada valor: nvermelhon_{vermelho} = passo 3: 26 · nverden_{verde} = passo 3: 23

S=26+23=49=49 pedac\cosS = 26 + 23 = 49 = \boxed{49\ \text{peda}ç\text{os}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar na ordem errada ou esquecer de somar uma das cores.

Passo 5 — Subtrair os pedaços azuis da soma

O enunciado pede o quanto a soma excede os azuis, ou seja, a diferença entre a soma e a quantidade azul. Subtraímos para achar esse excesso.

Por que esta fórmula: A palavra 'exceder' indica subtração: o valor maior menos o menor.

D=S−nazulD = S - n_{azul}

De onde vem cada valor: SS = passo 4: 49 · nazuln_{azul} = passo 3: 16

D=49−16=33=33 pedac\cosD = 49 - 16 = 33 = \boxed{33\ \text{peda}ç\text{os}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair ao contrário (16 - 49) ou esquecer de subtrair.

Resposta: 33 pedaços (alternativa B)

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