GabaritoE — 343.
Gabarito: letra E — a conta chega a 343 (alternativa E).
Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se uma constante ao termo anterior. Essa constante é chamada de razão (r). No mundo real, uma PA modela situações com crescimento ou decrescimento uniforme, como o número das casas desta rua, que aumentam sempre na mesma quantidade. A unidade aqui é o próprio número da casa, e a razão é a diferença entre números consecutivos.
A relação que governa uma PA é o termo geral: a_n = a_1 + (n-1) · r, onde a_1 é o primeiro termo, n é a posição do termo desejado e r é a razão. Essa fórmula faz sentido porque, para chegar ao n-ésimo termo, partimos do primeiro e somamos a razão uma vez para cada passo além do primeiro — por isso (n-1). Se a razão aumenta, os termos crescem mais rápido; se n aumenta, o termo fica maior. A fórmula vale para qualquer PA, desde que a razão seja constante.
Nesta questão, precisamos identificar que a sequência é uma PA, calcular a razão subtraindo termos consecutivos e aplicar a fórmula do termo geral para n = 20. O ponto crítico é usar (n-1) e não esquecer de somar o primeiro termo.
primeiros termos: 1; 19; 37; 55; …
posição desejada: n = 20
O que queremos: o 20º termo da sequência (número da 20ª casa)
Para saber se a sequência é uma progressão aritmética e com que passo ela cresce, precisamos calcular a diferença entre termos consecutivos. Essa diferença constante é a razão, que será usada na fórmula do termo geral.
Por que esta fórmula: A razão de uma PA é definida como a diferença entre um termo e seu anterior: r = a_{n} - a_{n-1}. Como a sequência é dada, subtraímos o primeiro termo do segundo para obter r.
De onde vem cada valor: = enunciado: 19 · = enunciado: 1
Subtrair na ordem errada (1 - 19 = -18) ou achar que a razão é 18 apenas por inspeção sem verificar com outros termos.
Com a razão em mãos, precisamos de uma expressão que permita calcular qualquer termo da PA sem listar todos os anteriores. A fórmula do termo geral faz exatamente isso: relaciona o primeiro termo, a razão e a posição n.
Por que esta fórmula: Esta é a fórmula padrão para o termo geral de uma PA: a_n = a_1 + (n-1) · r. Ela é a única que usa diretamente a_1, r e n, e é a ferramenta certa para encontrar o 20º termo.
De onde vem cada valor: = enunciado: 1 · = enunciado: 20 · = passo 1: 18
Confundir a fórmula com a de soma dos termos, ou usar n em vez de (n-1).
Agora que temos a fórmula e os valores, substituímos a_1 = 1, n = 20 e r = 18 para obter uma expressão numérica. Isso transforma a relação geral em uma conta específica.
Por que esta fórmula: A substituição direta na fórmula do termo geral é o passo que nos leva ao valor procurado. Não há outra fórmula a usar aqui.
De onde vem cada valor: = enunciado: primeiro termo · = enunciado: posição 20, menos 1 · = passo 1: razão
Esquecer os parênteses e calcular 1 + 20 - 1 · 18, o que daria errado. Ou usar 20 em vez de 19 na multiplicação.
Dentro da expressão, a multiplicação (20-1) · 18 precisa ser feita antes da soma, seguindo a ordem das operações. Isso nos dá o valor do termo sem o primeiro termo.
Por que esta fórmula: Aqui não há fórmula nova; é uma operação aritmética: (20-1) = 19, e 19 · 18 = 342. Esse é o produto que, somado ao primeiro termo, dará o resultado final.
Errar a tabuada: 19 × 18 = 342, mas alguns podem calcular 20 × 18 = 360 e depois subtrair 18, o que também dá 342, mas é mais propenso a erro.
O produto 342 representa apenas a contribuição da razão ao longo dos 19 intervalos. Para obter o termo completo, precisamos somar o primeiro termo, que é o ponto de partida da sequência.
Por que esta fórmula: A fórmula do termo geral é a_n = a_1 + (n-1) · r, então após calcular (n-1) · r, somamos a_1. Isso completa a conta.
De onde vem cada valor: = enunciado: primeiro termo · = passo 4: resultado da multiplicação
Esquecer de somar o primeiro termo, obtendo 342 (alternativa D).
Resposta: 343 (alternativa E)
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