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Questão de Matemática — Probabilidade — VUNESP 2025

MatemáticaProbabilidade
Código
vu099298
Banca
VUNESP
Órgão
Prefeitura de Itatiba - SP
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Professor de Ensino Básico II - Matemática (Titular)
Com letras da palavra CABELO podem ser formados muitos anagramas. No sorteio de um desses anagramas, a probabilidade do anagrama sorteado iniciar com as letras LO, nessa ordem, ou com a letra B, é de
  1. A1/9.
  2. B1/8.
  3. C1/6.
  4. D1/5.
  5. E1/4.
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GabaritoD — 1/5.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 1/5 (alternativa D).

A ideia por trás

Anagramas são permutações das letras de uma palavra. Quando as letras são todas distintas, o número total de anagramas é o fatorial do número de letras: para 6 letras, 6! = 720. A probabilidade de um evento é a razão entre o número de anagramas favoráveis e o total. Quando dois eventos não podem ocorrer ao mesmo tempo (mutuamente exclusivos), a probabilidade da união é a soma das probabilidades; se podem ocorrer juntos, subtraímos a interseção. Nesta questão, os eventos 'começar com LO' e 'começar com B' são mutuamente exclusivos, pois a primeira letra não pode ser L e B ao mesmo tempo. Precisamos calcular quantos anagramas satisfazem cada condição e somar.

O que a questão dá

  • palavra CABELO com 6 letras distintas

  • total de anagramas = 6! = 720

O que queremos: a probabilidade de o anagrama começar com LO (nessa ordem) ou com a letra B

Passo 1 — Calcular o total de anagramas

A probabilidade é sempre o número de casos favoráveis dividido pelo total de casos possíveis. Para saber o total, usamos o fatorial: com 6 letras distintas, o número de permutações é 6!.

Por que esta fórmula: O número de anagramas de uma palavra com n letras distintas é n!, pois cada posição pode ser preenchida por uma letra diferente, e a ordem importa.

6!=6×5×4×3×2×16! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1

De onde vem cada valor: 66 = enunciado: palavra CABELO tem 6 letras

6!=6×5×4×3×2×1=720 anagramas6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = \boxed{720\ \text{anagramas}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que letras repetidas reduzem o total, mas aqui todas são distintas.

Passo 2 — Contar anagramas que começam com LO

Queremos a probabilidade de começar com 'LO' nessa ordem. Fixamos as duas primeiras letras como L e O, e as outras 4 letras podem ser permutadas livremente.

Por que esta fórmula: Ao fixar as duas primeiras posições, restam 4 letras para 4 posições, então o número de arranjos é 4!.

4!=4×3×2×14! = 4 \times 3 \times 2 \times 1

De onde vem cada valor: 44 = passo 1: restam 4 letras após fixar L e O

4!=4×3×2×1=24 anagramas4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = \boxed{24\ \text{anagramas}}
NÃO CAIA NESSA!

Contar como se LO pudesse ser permutado, mas a ordem é fixa.

Passo 3 — Calcular a probabilidade de começar com LO

Com o número de casos favoráveis e o total, calculamos a probabilidade do primeiro evento.

Por que esta fórmula: Probabilidade é casos favoráveis sobre casos possíveis.

P(A)=24720P(A) = \frac{24}{720}

De onde vem cada valor: 2424 = passo 2 · 720720 = passo 1

P(A)=24720=1 /30P(A) = \frac{24}{720} = \boxed{1\ /30}
NÃO CAIA NESSA!

Não simplificar a fração.

Passo 4 — Contar anagramas que começam com B

Agora o segundo evento: começar com a letra B. Fixamos a primeira letra como B, e as outras 5 podem ser permutadas.

Por que esta fórmula: Com a primeira posição fixa, restam 5 letras para 5 posições, então o número é 5!.

5!=5×4×3×2×15! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1

De onde vem cada valor: 55 = passo 1: restam 5 letras após fixar B

5!=5×4×3×2×1=120 anagramas5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = \boxed{120\ \text{anagramas}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir com 6! contando B como uma das permutações.

Passo 5 — Calcular a probabilidade de começar com B

Com o número de casos favoráveis, calculamos a probabilidade do segundo evento.

Por que esta fórmula: Probabilidade é casos favoráveis sobre casos possíveis.

P(B)=120720P(B) = \frac{120}{720}

De onde vem cada valor: 120120 = passo 4 · 720720 = passo 1

P(B)=120720=1 /6P(B) = \frac{120}{720} = \boxed{1\ /6}
NÃO CAIA NESSA!

Não simplificar a fração.

Passo 6 — Somar as probabilidades dos eventos exclusivos

Os eventos 'começar com LO' e 'começar com B' não podem ocorrer juntos, pois a primeira letra não pode ser L e B ao mesmo tempo. Portanto, a probabilidade da união é a soma das probabilidades individuais.

Por que esta fórmula: Para eventos mutuamente exclusivos, P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

P=130+16P = \frac{1}{30} + \frac{1}{6}

De onde vem cada valor: 130\frac{1}{30} = passo 3 · 16\frac{1}{6} = passo 5

P=130+530P = \frac{1}{30} + \frac{5}{30}
6/30=1 /56/30 = \boxed{1\ /5}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair a interseção mesmo sendo zero, ou esquecer de somar.

Resposta: 1/5 (alternativa D)

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