Questão de Matemática — Áreas e Perímetros — VUNESP 2025

Círculo Trigonométrico: Seno Mínimo em Intervalo Angular

Gabarito: letra D. No intervalo de $\frac{20\pi}{3}$ a $\frac{23\pi}{3}$ radianos, o seno atinge seu menor valor possível ($-1$) no ângulo $\frac{15\pi}{2}$ radianos, pois $\frac{15\pi}{2} = \frac{30\pi}{4}$ e $\frac{23\pi}{3} = \frac{92\pi}{12}$, enquanto $\frac{15\pi}{2} = \frac{90\pi}{12}$, que está dentro do intervalo e corresponde a $\frac{3\pi}{2} + 6\pi$ (três voltas completas mais $\frac{3\pi}{2}$), onde o seno é $-1$.

O círculo trigonométrico é uma circunferência de raio unitário centrada na origem do plano cartesiano. Nele, o seno de um ângulo é a projeção do raio sobre o eixo vertical (eixo y). Como o raio é 1, o seno varia entre $-1$ e $1$. O valor mínimo do seno é $-1$, que ocorre no ângulo de $\frac{3\pi}{2}$ radianos (270°), no ponto mais baixo do círculo. Como a função seno é periódica com período $2\pi$, o seno atinge $-1$ em todos os ângulos da forma $\frac{3\pi}{2} + 2k\pi$, onde $k$ é um inteiro.

O intervalo dado é de $\frac{20\pi}{3}$ até $\frac{23\pi}{3}$ radianos. Para encontrar o ângulo onde o seno é mínimo, precisamos identificar qual valor da forma $\frac{3\pi}{2} + 2k\pi$ está dentro desse intervalo. Vamos calcular:

• $\frac{20\pi}{3} \approx 6,67\pi$

• $\frac{23\pi}{3} \approx 7,67\pi$

Os ângulos onde o seno é $-1$ são:

• Para $k = 3$: $\frac{3\pi}{2} + 6\pi = \frac{3\pi}{2} + \frac{12\pi}{2} = \frac{15\pi}{2} = 7,5\pi$

• Para $k = 2$: $\frac{3\pi}{2} + 4\pi = \frac{3\pi}{2} + \frac{8\pi}{2} = \frac{11\pi}{2} = 5,5\pi$ (fora do intervalo)

• Para $k = 4$: $\frac{3\pi}{2} + 8\pi = \frac{3\pi}{2} + \frac{16\pi}{2} = \frac{19\pi}{2} = 9,5\pi$ (fora do intervalo)

Portanto, o único ângulo dentro do intervalo é $\frac{15\pi}{2} = 7,5\pi$, que está entre $6,67\pi$ e $7,67\pi$. A alternativa D apresenta exatamente esse valor.

A pegadinha desta questão está em reconhecer que o seno mínimo não ocorre nos extremos do intervalo, mas sim no ângulo interno que corresponde a $\frac{3\pi}{2}$ mais um múltiplo inteiro de $2\pi$. O candidato pode ser tentado a escolher um dos extremos (alternativas A ou E) sem verificar se o valor mínimo está dentro do intervalo.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\frac{20\pi}{3}$ é o limite inferior do intervalo. Nesse ângulo, o seno não é $-1$; na verdade, $\frac{20\pi}{3} = 6\pi + \frac{2\pi}{3}$, que corresponde a $\frac{2\pi}{3}$ (120°), onde o seno é $\frac{\sqrt{3}}{2}$, um valor positivo, não o mínimo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\frac{41\pi}{6}$ é um valor que não está dentro do intervalo $[\frac{20\pi}{3}, \frac{23\pi}{3}]$. Convertendo: $\frac{20\pi}{3} = \frac{40\pi}{6}$ e $\frac{23\pi}{3} = \frac{46\pi}{6}$. Portanto, $\frac{41\pi}{6}$ está dentro do intervalo, mas não é onde o seno é mínimo. $\frac{41\pi}{6} = 6\pi + \frac{5\pi}{6}$, que corresponde a $\frac{5\pi}{6}$ (150°), onde o seno é $\frac{1}{2}$, positivo.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\frac{22\pi}{3}$ está dentro do intervalo, mas não é onde o seno é mínimo. $\frac{22\pi}{3} = 6\pi + \frac{4\pi}{3}$, que corresponde a $\frac{4\pi}{3}$ (240°), onde o seno é $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, que é negativo, mas não é o valor mínimo absoluto ($-1$).

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$\frac{15\pi}{2} = 7,5\pi$ está dentro do intervalo $[6,67\pi, 7,67\pi]$. Esse ângulo é equivalente a $\frac{3\pi}{2} + 6\pi$, ou seja, três voltas completas mais $\frac{3\pi}{2}$ (270°). No círculo trigonométrico, $\frac{3\pi}{2}$ é o ponto mais baixo, onde o seno é exatamente $-1$, o menor valor possível da função seno.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\frac{23\pi}{3}$ é o limite superior do intervalo. Nesse ângulo, o seno não é $-1$; $\frac{23\pi}{3} = 6\pi + \frac{5\pi}{3}$, que corresponde a $\frac{5\pi}{3}$ (300°), onde o seno é $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, negativo, mas não o mínimo absoluto.

Gabarito: letra D