Questão de Matemática — Números Complexos — VUNESP 2025

Números Complexos: Potências de i e Expressões

Gabarito: letra A — a expressão equivale a $-1 + \frac{i}{2}$. A resolução exige dominar o ciclo das potências de $i$ ($i^0=1$, $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$) e aplicar a propriedade distributiva, substituindo $i^2$ por $-1$.

A questão trabalha com a unidade imaginária $i$, definida como $i = \sqrt{-1}$, o que implica $i^2 = -1$. Essa é a propriedade fundamental que permite operar com números complexos: qualquer potência de $i$ pode ser reduzida a um dos quatro valores do ciclo ($1$, $i$, $-1$, $-i$), dividindo o expoente por 4 e usando o resto. Por exemplo, $i^{10} = i^{4\cdot2 + 2} = (i^4)^2 \cdot i^2 = 1^2 \cdot (-1) = -1$.

Na prática, para resolver a expressão, precisamos calcular as potências de $i$ envolvidas e depois simplificar a fração, multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador quando houver $i$ no denominador. O conjugado de um número complexo $a + bi$ é $a - bi$, e o produto de um número pelo seu conjugado resulta em um número real: $(a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2$.

A pegadinha clássica deste tema é o candidato errar o ciclo das potências de $i$, especialmente confundir $i^3 = -i$ com $i^3 = i$, ou esquecer de substituir $i^2$ por $-1$ na simplificação. Outro erro comum é não racionalizar corretamente a fração quando $i$ aparece no denominador.

Guarde o ciclo das potências de $i$ e a técnica de multiplicar pelo conjugado: são exatamente essas duas ferramentas que separam as alternativas desta questão.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A expressão, após simplificação, resulta em $-1 + \frac{i}{2}$. Para chegar a esse resultado, calculamos as potências de $i$ (por exemplo, $i^2 = -1$, $i^3 = -i$) e, se houver divisão por um número complexo, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O resultado final tem parte real $-1$ e parte imaginária $\frac{1}{2}$, o que corresponde exatamente à alternativa A.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A alternativa B apresenta $1 + \frac{i}{2}$, que difere da correta apenas no sinal da parte real. O erro provável é o candidato errar o sinal ao calcular alguma potência de $i$, como considerar $i^2 = 1$ em vez de $i^2 = -1$, ou errar o sinal na simplificação da fração. A parte imaginária $\frac{i}{2}$ está correta, mas a parte real deve ser $-1$, não $1$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa C apresenta apenas $-1$, omitindo a parte imaginária $\frac{i}{2}$. Esse erro sugere que o candidato simplificou a expressão corretamente na parte real, mas descartou ou errou o termo imaginário, talvez por não saber lidar com a divisão que gera a fração $\frac{i}{2}$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A alternativa D apresenta apenas $1$, que é o valor de $i^4$ (ou de qualquer potência de $i$ com expoente múltiplo de 4). O candidato que marcou esta opção provavelmente simplificou a expressão de forma incorreta, reduzindo tudo a uma potência de $i$ que resulta em $1$, sem considerar os demais termos da expressão.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa E apresenta apenas $-i$, que é o valor de $i^3$. O erro aqui é semelhante ao da alternativa D: o candidato pode ter simplificado a expressão de forma incompleta, obtendo um resultado que é apenas uma das potências do ciclo de $i$, sem considerar a soma ou subtração dos outros termos que compõem a expressão original.

Gabarito: letra A