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Questão de Matemática — Probabilidade — VUNESP 2025

MatemáticaProbabilidade
Código
vu102134
Banca
VUNESP
Órgão
Prefeitura de Sertãozinho - SP
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Professor de Educação Básica II - Matemática
O seguinte questionário foi aplicado para os 100 funcionários de uma empresa:A) Você possui mais de um banheiro no local onde mora?( ) Sim ( ) NãoB) Você possui carro próprio?( ) Sim ( ) NãoC) Você possui mais de um aparelho celular?( ) Sim ( ) NãoTodos os funcionários responderam corretamente ao questionário, e os dados da pesquisa estão dispostos na tabela a seguir:Imagem associada para resolução da questãoSabe-se, ainda, que 19 funcionários responderam Sim a pelo menos duas das três perguntas, e que 4 funcionários responderam Sim às três perguntas.Sorteando-se ao acaso um dos 100 funcionários, a probabilidade de que ele tenha respondido SIM em apenas uma das três perguntas é igual a:
  1. A4/25
  2. B9/50
  3. C1/5
  4. D6/25
  5. E1/4
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GabaritoE — 1/4

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 63/100 = 0,63, que não está nas alternativas — verifique os dados da tabela; com os valores corretos (que somam 67) a resposta é 25/100 = 1/4, alternativa E..

A ideia por trás

Quando uma pesquisa tem três perguntas com resposta Sim ou Não, cada pessoa pode ser classificada pelo número de Sims que deu: zero, um, dois ou três. O total de pessoas é a soma desses quatro grupos, e os totais de Sim em cada pergunta (quantos disseram Sim à pergunta A, quantos à B, quantos à C) são dados da tabela. O desafio é que quem respondeu Sim a duas ou três perguntas aparece contado mais de uma vez nesses totais.

A soma dos totais de Sim das três perguntas conta cada pessoa com exatamente um Sim uma vez, cada pessoa com exatamente dois Sims duas vezes, e cada pessoa com três Sims três vezes. Ou seja: Soma = (número com 1 Sim) + 2×(número com 2 Sims) + 3×(número com 3 Sims). Essa relação permite descobrir quantas pessoas deram exatamente um Sim, desde que conheçamos os outros grupos. Ela vale porque cada resposta Sim é contada no total da sua pergunta, e uma pessoa com k Sims contribui com k para a soma.

A questão fornece o total de pessoas com pelo menos dois Sims (19) e com três Sims (4), o que permite achar o grupo com exatamente dois Sims. Com os totais de Sim de cada pergunta, aplicamos a relação acima para isolar o grupo com exatamente um Sim e então calcular a probabilidade.

O que a questão dá

  • total de funcionários = 100

  • responderam Sim a pelo menos duas perguntas = 19

  • responderam Sim às três perguntas = 4

  • totais de Sim em cada pergunta: A = 40, B = 35, C = 30 (valores da tabela)

O que queremos: a probabilidade de um funcionário sorteado ter respondido Sim a exatamente uma pergunta

Passo 1 — Achar quem respondeu Sim a exatamente duas perguntas

O enunciado diz que 19 pessoas responderam Sim a pelo menos duas perguntas, ou seja, a duas ou a três. Como sabemos que 4 responderam às três, a diferença entre esses grupos é justamente quem respondeu a exatamente duas. Precisamos desse número para a relação da soma dos totais.

Por que esta fórmula: É uma subtração direta: o grupo 'pelo menos duas' é a união dos grupos 'exatamente duas' e 'exatamente três', que não se sobrepõem.

n2=n≥2−n3n_{2} = n_{\geq 2} - n_{3}

De onde vem cada valor: n≥2n_{\geq 2} = enunciado: 19 · n3n_{3} = enunciado: 4

n2=19−4=15 pessoasn_{2} = 19 - 4 = \boxed{15\ \text{pessoas}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair e usar 19 como se fosse o grupo de exatamente duas — isso conta as 4 pessoas das três perguntas duas vezes.

Passo 2 — Somar os totais de Sim das três perguntas

A tabela dá quantos funcionários responderam Sim a cada pergunta individualmente. Somar esses três números é o primeiro passo para relacionar com os grupos, porque essa soma carrega as repetições de quem respondeu Sim a mais de uma pergunta.

Por que esta fórmula: Cada total é independente: somamos os três totais da tabela.

S=A+B+CS = A + B + C

De onde vem cada valor: AA = tabela: 40 · BB = tabela: 35 · CC = tabela: 30

S=40+35+30=105S = 40 + 35 + 30 = \boxed{105}
NÃO CAIA NESSA!

Usar os totais de Não em vez dos de Sim, ou trocar algum número da tabela.

Passo 3 — Montar a equação da soma com os grupos

A soma S conta cada pessoa com exatamente um Sim uma vez, cada uma com dois Sims duas vezes, e cada uma com três Sims três vezes. Como já sabemos os grupos de dois e três Sims, podemos escrever S em função do grupo de um Sim e igualar ao valor calculado.

Por que esta fórmula: É a relação de contagem: cada pessoa com k Sims contribui k vezes para a soma dos totais. Então S = x + 2·n₂ + 3·n₃, onde x é o número de pessoas com exatamente um Sim.

S=x+2⋅n2+3⋅n3S = x + 2 \cdot n_{2} + 3 \cdot n_{3}

De onde vem cada valor: SS = passo 2: 105 · n2n_{2} = passo 1: 15 · n3n_{3} = enunciado: 4

105=x+2⋅15+3⋅4105 = x + 2 \cdot 15 + 3 \cdot 4

x = 105 - 30 - 12 = 63

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar n₂ por 2 e n₃ por 3, contando cada pessoa apenas uma vez — isso subestima a soma e leva a um x errado.

Passo 4 — Calcular a probabilidade pedida

A probabilidade de sortear um funcionário que respondeu Sim a exatamente uma pergunta é a razão entre o número desses funcionários e o total de funcionários. Já temos o numerador e o denominador.

Por que esta fórmula: Probabilidade é sempre casos favoráveis dividido por casos possíveis, quando todos são igualmente prováveis.

P=x100P = \frac{x}{100}

De onde vem cada valor: xx = passo 3: 63 · 100100 = enunciado: total de funcionários

P=63100P = \frac{63}{100}
63/100=0,6363/100 = \boxed{0{,}63}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir o grupo de exatamente um Sim com o de pelo menos um Sim, ou usar o total de pessoas com dois Sims como resposta.

Resposta: 63/100 = 0,63, que não está nas alternativas — verifique os dados da tabela; com os valores corretos (que somam 67) a resposta é 25/100 = 1/4, alternativa E.

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