Questão de Matemática — Áreas e Perímetros — VUNESP 2025

Volume do cilindro: capacidade real do copo

Gabarito: letra C — a capacidade real do copo está entre 1,8 e 1,9 litros. O volume útil é a diferença entre o volume do cilindro externo (o copo) e o volume do cilindro interno maciço (o "miolo" central). Como o cilindro interno tem raio 3 cm e altura 8 cm, e essas medidas correspondem a 2/5 e 2/3 das medidas do copo, respectivamente, o copo tem raio 7,5 cm e altura 12 cm. Calculando os volumes e subtraindo, obtemos aproximadamente 1,84 litros.

O problema mistura dois conceitos que precisam ficar claros: o volume do cilindro e a capacidade útil de um recipiente com um obstáculo interno. O volume de um cilindro circular reto é dado por $V = \pi \cdot r^2 \cdot h$, onde $r$ é o raio da base e $h$ é a altura. A capacidade real do copo não é o volume total do copo, mas sim o volume da região que sobra depois de descontar o volume do cilindro maciço que ocupa o centro. É como um copo com um "dedo" central ocupando espaço: o líquido só preenche a parte externa.

Vamos destrinchar os dados. O cilindro interno (maciço) tem raio $r_i = 3$ cm e altura $h_i = 8$ cm. O enunciado diz que essas medidas correspondem a frações das medidas do copo: a altura do interno é $\frac{2}{3}$ da altura do copo, e o raio do interno é $\frac{2}{5}$ do raio do copo. Isso significa que o copo é maior que o cilindro interno. Para achar as medidas do copo, fazemos a conta inversa: se $\frac{2}{3}$ da altura do copo é 8 cm, então a altura do copo é $8 \div \frac{2}{3} = 8 \times \frac{3}{2} = 12$ cm. Da mesma forma, se $\frac{2}{5}$ do raio do copo é 3 cm, então o raio do copo é $3 \div \frac{2}{5} = 3 \times \frac{5}{2} = 7,5$ cm.

Agora calculamos os volumes. O volume do copo (cilindro externo) é $V_{copo} = \pi \cdot (7,5)^2 \cdot 12 = \pi \cdot 56,25 \cdot 12 = 675\pi$ cm³. O volume do cilindro interno é $V_{interno} = \pi \cdot 3^2 \cdot 8 = \pi \cdot 9 \cdot 8 = 72\pi$ cm³. A capacidade real é a diferença: $V_{util} = 675\pi - 72\pi = 603\pi$ cm³. Usando $\pi \approx 3,14$, temos $V_{util} \approx 603 \times 3,14 = 1893,42$ cm³. Como 1 litro equivale a 1000 cm³, a capacidade é $1893,42 \div 1000 = 1,89342$ litros, que está entre 1,8 e 1,9.

A pegadinha clássica aqui é inverter as frações: o aluno pode achar que o copo tem 2/3 da altura do cilindro interno (ou seja, menor), em vez de o cilindro interno ter 2/3 da altura do copo. Outra armadilha é esquecer de converter cm³ para litros, o que levaria a uma resposta absurda (1893 litros). E há ainda quem calcule apenas o volume do copo, esquecendo de subtrair o volume do cilindro interno. Guarde o passo a passo: identificar as medidas do copo a partir das frações, calcular os dois volumes, subtrair e converter a unidade. É exatamente esse roteiro que separa as alternativas.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a capacidade está entre 2,0 e 2,1 litros. Esse valor seria obtido se o aluno calculasse apenas o volume do copo (675π cm³ ≈ 2,12 L) sem subtrair o volume do cilindro interno, ou se usasse frações invertidas, resultando em um copo maior do que o real. O volume útil correto é cerca de 1,89 L, bem abaixo desse intervalo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a capacidade está entre 1,9 e 2,0 litros. Esse intervalo é próximo do valor correto (1,893 L), mas o valor exato fica ligeiramente abaixo de 1,9. O aluno que chega a 1,9 L provavelmente usou uma aproximação de π menos precisa (como π = 3) ou arredondou o resultado para cima. Com π = 3,14, o valor é 1,89342 L, que não alcança 1,9.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A capacidade real é $V_{util} = 603\pi$ cm³. Com $\pi \approx 3,14$, temos $603 \times 3,14 = 1893,42$ cm³, que convertido para litros (dividindo por 1000) resulta em 1,89342 L. Esse valor está entre 1,8 e 1,9 litros, exatamente o intervalo da alternativa. O cálculo considera corretamente as frações (copo com raio 7,5 cm e altura 12 cm) e a subtração do volume interno.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a capacidade está entre 1,7 e 1,8 litros. Esse valor seria obtido se o aluno errasse as frações, por exemplo, considerando o raio do copo como $3 \times \frac{2}{5} = 1,2$ cm (invertendo a relação) ou a altura como $8 \times \frac{2}{3} \approx 5,33$ cm, resultando em um copo menor e, consequentemente, um volume útil menor que o real. O valor correto é 1,893 L, acima desse intervalo.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que a capacidade está entre 1,6 e 1,7 litros. Esse valor é ainda menor que o da alternativa D e reflete erros mais graves nas frações ou na conversão de unidades. Por exemplo, se o aluno usasse o raio do copo como $3 \times \frac{2}{5} = 1,2$ cm e a altura como $8 \times \frac{2}{3} \approx 5,33$ cm, o volume do copo seria $\pi \times 1,44 \times 5,33 \approx 7,68\pi$ cm³, e subtraindo o volume interno (72π cm³) daria um valor negativo — um sinal claro de erro. O valor correto é 1,893 L, muito acima desse intervalo.

A regra de ouro para questões de capacidade com sólidos encaixados: sempre subtraia o volume do obstáculo interno do volume total e converta a unidade final para o que o enunciado pede (litros, ml etc.). As frações indicam a relação entre as medidas — leia com atenção quem é a fração de quem. Com esse raciocínio, você resolve qualquer variação do tema.

Gabarito: letra C