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Questão de Matemática — Áreas e Perímetros — VUNESP 2025

MatemáticaÁreas e Perímetros
Código
vu102141
Banca
VUNESP
Órgão
Prefeitura de Sertãozinho - SP
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Professor de Educação Básica II - Matemática
Os vértices do hexágono côncavo ABCDEF, indicado na RASCUN H O figura, estão em pontos de cruzamentos de linhas de uma grade quadriculada de 1 cm por 1 cm.Imagem associada para resolução da questãoA área do hexágono ABCDEF é igual a
  1. A18,0 cm² .
  2. B17,0 cm² .
  3. C16,5 cm² .
  4. D15,0 cm² .
  5. E13,0 cm² .
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 17,0 cm² .

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 17,0 cm² — alternativa B.

A ideia por trás

Um polígono côncavo é uma figura plana que tem pelo menos um ângulo interno maior que 180°, ou seja, uma 'entrada' na borda. Diferente do convexo, não dá para dividi-lo em triângulos a partir de um único vértice sem que algum triângulo fique de fora. Por isso, quando a figura está desenhada em uma malha quadriculada, a estratégia mais prática é calcular a área de um retângulo que envolve a figura e subtrair as partes que ficam entre o retângulo e o polígono.

A área de um retângulo é base × altura, e a de um triângulo retângulo é (cateto × cateto) / 2. A ideia da complementação é: área do polígono = área do retângulo que o envolve − área das regiões de fora. Essas regiões de fora, na malha, costumam ser triângulos retângulos ou retângulos menores, cujas áreas são fáceis de calcular. Essa técnica funciona para qualquer polígono, desde que o retângulo envolvente tenha lados sobre as linhas da malha.

Esta questão cobra exatamente essa técnica: identificar o retângulo que envolve o hexágono, calcular sua área e subtrair as áreas dos três triângulos retângulos que ficam nos cantos, formando a concavidade.

O que a questão dá

  • grade quadriculada com quadradinhos de 1 cm por 1 cm

  • hexágono côncavo ABCDEF desenhado na grade

  • retângulo que circunscreve o hexágono: 4 cm de altura por 5 cm de largura

  • três triângulos retângulos de recorte, cada um com catetos 1 cm e 2 cm

O que queremos: a área do hexágono côncavo ABCDEF

Passo 1 — Calcular a área do retângulo que envolve o hexágono

Para usar a técnica da complementação, primeiro precisamos da área do retângulo que contém toda a figura. Esse retângulo tem lados sobre as linhas da malha, então sua área é o número de quadradinhos de largura vezes o número de quadradinhos de altura.

Por que esta fórmula: A área de um retângulo é sempre base × altura. Aqui, a base é a largura em centímetros (5 quadradinhos) e a altura é 4 quadradinhos.

Aret=b×hA_{ret} = b \times h

De onde vem cada valor: bb = enunciado: 5 cm (largura do retângulo que envolve o hexágono) · hh = enunciado: 4 cm (altura do retângulo que envolve o hexágono)

Aret=5×4=20 cm2A_{ret} = 5 \times 4 = \boxed{20\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Contar errado o número de quadradinhos da grade — confira se o retângulo realmente tem 5 de largura e 4 de altura.

Passo 2 — Calcular a área de um triângulo de recorte

O retângulo inclui três triângulos retângulos que não fazem parte do hexágono. Precisamos da área de cada um para subtraí-los depois. Como os três são idênticos, calculamos um e multiplicamos por três.

Por que esta fórmula: A área de um triângulo retângulo é metade do produto dos catetos, porque ele é metade de um retângulo de lados iguais aos catetos.

Atri=c1×c22A_{tri} = \frac{c_1 \times c_2}{2}

De onde vem cada valor: c1c_1 = enunciado: 1 cm (cateto do triângulo de recorte) · c2c_2 = enunciado: 2 cm (outro cateto do triângulo de recorte)

Atri=1×22=1 cm2A_{tri} = \frac{1 \times 2}{2} = \boxed{1\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2 e usar 2 cm² — isso daria área total errada.

Passo 3 — Subtrair os três recortes do retângulo

Agora que temos a área do retângulo e a área de cada triângulo de fora, subtraímos a área total dos três triângulos para obter a área do hexágono.

Por que esta fórmula: A área do polígono é a área do retângulo menos a soma das áreas das regiões que não pertencem a ele. Como são três triângulos iguais, multiplicamos a área de um por três.

Ahex=Aret−3×AtriA_{hex} = A_{ret} - 3 \times A_{tri}

De onde vem cada valor: AretA_{ret} = passo 1: 20 cm² · AtriA_{tri} = passo 2: 1 cm²

Ahex=20−3×1=17 cm2A_{hex} = 20 - 3 \times 1 = \boxed{17\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair apenas dois triângulos (2 cm²) em vez de três — isso daria 18 cm², que é a alternativa A.

Resposta: 17,0 cm² — alternativa B

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