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Questão de Matemática — Álgebra Linear — VUNESP 2025

MatemáticaÁlgebra Linear
Código
vu103182
Banca
VUNESP
Órgão
Prefeitura de Vista Alegre do Alto - SP
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Químico
Suponha que a resolução de um problema envolvendo equações químicas envolva a solução do seguinte sistema de equações do 1o grau, composto das equações (I), (II) e (III):(I) x – 2y + 4z = 60(II) 2x + 3y – z = 28(III) 6x + 2y + 5z = 158Considerando a solução desse sistema, é correto afirmar que o valor de y – x é
  1. A2.
  2. B4.
  3. C6.
  4. D8.
  5. E10.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 2.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a y - x = 2, alternativa A.

A ideia por trás

Um sistema linear é um conjunto de equações que compartilham as mesmas incógnitas; resolver o sistema é encontrar os valores que satisfazem todas as equações simultaneamente. Existem vários métodos para isso — substituição, adição (ou combinação linear) e a regra de Cramer, entre outros. Para sistemas com três equações e três incógnitas, o método da adição (escalonamento) costuma ser o mais direto: combinamos as equações para eliminar uma incógnita de cada vez, reduzindo o problema a um sistema menor.

Aqui, o objetivo não é apenas achar a solução completa, mas calcular uma expressão com as incógnitas (y - x). Isso permite um atalho: em vez de resolver o sistema inteiro, podemos combinar as equações de forma a obter diretamente o valor de y - x. Vamos ver como.

O que a questão dá

  • x - 2y + 4z = 60

  • 2x + 3y - z = 28

  • 6x + 2y + 5z = 158

O que queremos: o valor de y - x

Passo 1 — Eliminar z das equações (I) e (II)

Para resolver um sistema com três incógnitas, reduzimos o problema eliminando uma incógnita de cada vez. Aqui, eliminamos z combinando as duas primeiras equações, pois os coeficientes de z (4 e -1) podem ser ajustados para se cancelarem.

Por que esta fórmula: Multiplicamos a equação (II) por 4 para que o coeficiente de z fique -4, que somado a +4 da equação (I) resulta em zero. Assim, ao somar as duas equações, a incógnita z desaparece.

9x+10y=1729x + 10y = 172

De onde vem cada valor: 9x9x = soma dos coeficientes de x: 1 + 8 · 10y10y = soma dos coeficientes de y: -2 + 12 · 172172 = soma dos termos independentes: 60 + 112

9x+10y=1729x + 10y = 172
9x+10y=1729x + 10y = \boxed{172}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar todos os termos da equação (II) por 4, ou errar o sinal ao somar.

Passo 2 — Eliminar z das equações (I) e (III)

Agora precisamos de outra equação sem z para formar um sistema de duas equações com x e y. Usamos as equações (I) e (III), ajustando os coeficientes de z para que se cancelem.

Por que esta fórmula: Multiplicamos (I) por 5 e (III) por 4, pois 5×4 = 20 e 4×5 = 20, então os termos em z ficam iguais (20z) e podem ser subtraídos. Subtraímos uma equação da outra para eliminar z.

19x+18y=33219x + 18y = 332

De onde vem cada valor: 19x19x = diferença dos coeficientes de x: 24 - 5 · 18y18y = diferença dos coeficientes de y: 8 - (-10) · 332332 = diferença dos termos independentes: 632 - 300

19x+18y=33219x + 18y = 332
19x+18y=33219x + 18y = \boxed{332}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a subtração: lembre-se de que 8 - (-10) = 18, não -2.

Passo 3 — Resolver o sistema 2x2 formado

Com duas equações e duas incógnitas (x e y), podemos resolver por eliminação novamente. Multiplicamos as equações para igualar os coeficientes de y e subtraímos para achar x.

Por que esta fórmula: Multiplicamos (IV) por 9 e (V) por 5 para que os coeficientes de y fiquem 90 em ambas. Subtraindo, o termo em y se anula e sobra uma equação só com x.

14x=11214x = 112

De onde vem cada valor: 14x14x = diferença dos coeficientes de x: 95 - 81 · 112112 = diferença dos termos independentes: 1660 - 1548

14x=11214x = 112
x=8x = \boxed{8}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a multiplicação: 9×172 = 1548, não 1548? Confira as contas.

Passo 4 — Calcular y substituindo x

Com x = 8, usamos uma das equações do sistema 2x2 para achar y. Substituímos x na equação (IV) e resolvemos para y.

Por que esta fórmula: A equação (IV) é 9x + 10y = 172. Isolamos y: primeiro subtraímos 9x dos dois lados, depois dividimos por 10.

y=172−9x10y = \frac{172 - 9x}{10}

De onde vem cada valor: 172172 = passo 1: equação (IV) · 99 = passo 1: coeficiente de x · xx = passo 3: x = 8

y=172−9⋅810=172−7210=10010y = \frac{172 - 9 \cdot 8}{10} = \frac{172 - 72}{10} = \frac{100}{10}
y=10y = \boxed{10}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a ordem das operações: primeiro multiplicar 9×8, depois subtrair de 172.

Passo 5 — Calcular y - x

O problema pede y - x, então agora que temos os valores de x e y, basta subtrair.

Por que esta fórmula: A expressão y - x é direta: substituímos y por 10 e x por 8.

y−x=10−8y - x = 10 - 8

De onde vem cada valor: yy = passo 4: y = 10 · xx = passo 3: x = 8

y−x=10−8=2y - x = 10 - 8 = \boxed{2}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a ordem: calcular x - y = 8 - 10 = -2, que não é o que se pede.

Resposta: y - x = 2, alternativa A

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