Questão de Física — Cinemática — VUNESP 2025

Cinemática: derivada da posição para obter a velocidade

Gabarito: letra C. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo: $v = \frac{dy}{dt}$. Derivando a função $y = t^4 - 8t^3 - 9t^2 + 38{,}59$, obtemos $v = 4t^3 - 24t^2 - 18t$, que corresponde exatamente à alternativa C. As demais alternativas erram ao aplicar a regra da potência (multiplicar pelo expoente e diminuir um do expoente) ou ao confundir a derivada com a própria função.

A cinemática é o ramo da física que descreve o movimento sem se preocupar com suas causas — isso é papel da dinâmica. Quando temos a posição de um corpo como função do tempo, $y(t)$, a velocidade instantânea é a taxa de variação da posição, ou seja, a derivada primeira de $y$ em relação a $t$. A aceleração, por sua vez, seria a derivada segunda. Essa relação é fundamental: posição → velocidade → aceleração, cada uma obtida pela derivação da anterior.

A regra da potência é a ferramenta central: para derivar $t^n$, multiplicamos pelo expoente $n$ e reduzimos o expoente em uma unidade, resultando em $n \cdot t^{n-1}$. Aplicando termo a termo na função dada:

• $t^4 \rightarrow 4t^3$

• $-8t^3 \rightarrow -24t^2$

• $-9t^2 \rightarrow -18t$

• $38{,}59$ (constante) $\rightarrow 0$

Somando os resultados, obtemos $v = 4t^3 - 24t^2 - 18t$. A constante desaparece porque a derivada de uma constante é zero — ela não afeta a velocidade, apenas a posição inicial.

Um exemplo concreto: se a posição de uma partícula é $y = t^2$, a velocidade é $v = 2t$. No instante $t = 3$ s, a posição é 9 m e a velocidade é 6 m/s. Perceba que a velocidade não é simplesmente a posição dividida pelo tempo — é a taxa instantânea de variação, capturada pela derivada.

A pegadinha que a banca explora aqui é dupla: primeiro, confundir a derivada com a função original (alternativa B mantém os expoentes); segundo, errar a aplicação da regra da potência, ora esquecendo de multiplicar pelo expoente (alternativa A), ora errando a subtração do expoente (alternativas D e E). O candidato que domina a regra da potência resolve a questão em segundos.

Guarde o critério decisivo: velocidade = derivada da posição. Ao derivar, cada termo $t^n$ vira $n \cdot t^{n-1}$, e constantes somem. É exatamente nessa transformação que as alternativas se dividem.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A alternativa $v = 2t^3 - 24t^2 - 18t$ erra no primeiro termo: derivou $t^4$ como se fosse $2t^3$, ou seja, multiplicou por 2 em vez de 4. A regra da potência exige multiplicar pelo expoente original (4), não por um número arbitrário. O correto seria $4t^3$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A alternativa $v = 4t^4 - 8t^3 - 9t$ não é uma derivada — é a função original com o primeiro coeficiente alterado. Ela mantém os expoentes $t^4$ e $t^3$ intactos, o que indica que o candidato não aplicou a regra da potência, apenas copiou a função e trocou alguns números. A derivada sempre reduz o expoente de cada termo em uma unidade.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa $v = 4t^3 - 24t^2 - 18t$ é exatamente a derivada da função posição. Aplicando a regra da potência termo a termo: $t^4 \rightarrow 4t^3$, $-8t^3 \rightarrow -24t^2$, $-9t^2 \rightarrow -18t$, e a constante $38{,}59$ deriva para zero. A soma dos termos derivados resulta na expressão correta da velocidade.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A alternativa $v = t^3 - 8t^2 - 9t^2$ erra ao não multiplicar pelos expoentes: derivou $t^4$ como $t^3$ (sem o fator 4), $-8t^3$ como $-8t^2$ (sem o fator 3) e manteve o termo $-9t^2$ sem derivar (deveria virar $-18t$). Além disso, há um erro de notação: $-9t^2$ aparece duas vezes, o que sugere descuido na escrita. A regra da potência exige multiplicar cada termo pelo expoente original.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa $v = 8t^2 - 24t - 9$ parece ser a derivada de uma função cúbica, não da função dada. Ela erra ao reduzir os expoentes de forma incorreta: $t^4$ viraria $4t^3$, não $8t^2$; $-8t^3$ viraria $-24t^2$, não $-24t$; e $-9t^2$ viraria $-18t$, não $-9$. A alternativa parece ter sido construída aplicando a regra da potência de forma aleatória, sem seguir a função original.

A regra de ouro para levar à prova: ao derivar um polinômio, cada termo $a \cdot t^n$ se transforma em $a \cdot n \cdot t^{n-1}$. A constante some. Com isso, a velocidade sai direto da posição, sem margem para erro.

Gabarito: letra C