Questão de Física — Gravitação Universal — VUNESP 2025

Terceira Lei de Kepler: a constância de T²/r³

Gabarito: letra E. A Terceira Lei de Kepler estabelece que o quociente entre o quadrado do período orbital (T²) e o cubo do raio médio da órbita (r³) é constante para todos os planetas que orbitam uma mesma estrela — é exatamente essa a afirmação da alternativa E, que espelha a literalidade do enunciado. As demais alternativas distorcem a relação de proporcionalidade, confundem órbitas circulares com elípticas, invertem a relação entre distância e velocidade angular, ou restringem indevidamente a aplicação da lei.

A Terceira Lei de Kepler, também chamada de Lei dos Períodos, foi formulada por Johannes Kepler no início do século XVII, a partir dos dados observacionais de Tycho Brahe. Ela estabelece uma relação matemática entre o período orbital de um planeta e o tamanho de sua órbita: quanto maior a órbita, maior o período. A expressão matemática é:

onde $T$ é o período orbital, $r$ é o raio médio da órbita e $K$ é uma constante que depende da massa da estrela central. Para planetas orbitando o Sol, essa constante é a mesma para todos — é isso que a alternativa E afirma corretamente.

A lei pode ser deduzida a partir da Lei da Gravitação Universal de Newton. Igualando a força gravitacional à força centrípeta:

Como $v = \frac{2\pi r}{T}$, substituindo e simplificando, obtemos:

onde $G$ é a constante da gravitação universal e $M$ é a massa da estrela central. Isso mostra que a constante $K$ depende apenas da massa da estrela — por isso é a mesma para todos os planetas que orbitam a mesma estrela, mas diferente para sistemas com estrelas de massas diferentes.

A pegadinha central desta questão é a relação de proporcionalidade. Da equação $T^2 = K \cdot r^3$, tiramos que $T \propto r^{3/2}$: o período é diretamente proporcional ao raio elevado a 3/2, não inversamente proporcional. Além disso, planetas mais distantes têm períodos maiores, mas isso ocorre porque sua velocidade angular diminui (eles se movem mais devagar), não porque aumenta. Guarde essa distinção: é exatamente nela que as alternativas se dividem.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o período orbital é inversamente proporcional ao raio médio da órbita. Isso contraria a Terceira Lei de Kepler: da relação $T^2 = K \cdot r^3$, o período é diretamente proporcional a $r^{3/2}$. Quanto maior a órbita, maior o período — planetas distantes demoram mais para completar uma volta. A banca inverteu a relação de proporcionalidade.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que planetas próximos ao Sol têm órbitas circulares e os distantes, elípticas. Isso é falso: todas as órbitas planetárias são elípticas, conforme a Primeira Lei de Kepler (Lei das Órbitas). A diferença é que as órbitas dos planetas do Sistema Solar têm baixa excentricidade, aproximando-se de círculos, mas nenhuma é perfeitamente circular. A distinção entre próximos e distantes não existe nesse contexto.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que planetas mais distantes têm períodos maiores em razão do aumento de sua velocidade angular. Há dois erros: o período maior está correto, mas a causa está errada. Planetas mais distantes têm menor velocidade angular (e menor velocidade orbital), pois a força gravitacional é mais fraca. A relação correta é: maior distância → menor velocidade angular → maior período.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a Terceira Lei de Kepler se aplica apenas a planetas rochosos do Sistema Solar e não a exoplanetas. Isso é falso: a lei é universal e se aplica a qualquer sistema planetário, incluindo exoplanetas orbitando outras estrelas. A constante $K$ muda conforme a massa da estrela central, mas a relação $T^2/r^3 = K$ permanece válida. A lei também se aplica a satélites orbitando planetas, luas, etc.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que a constante $T^2/r^3$ é a mesma para todos os planetas que orbitam uma mesma estrela. Isso é exatamente o que a Terceira Lei de Kepler estabelece: a constante depende apenas da massa da estrela central, sendo igual para todos os corpos que orbitam essa estrela. É a única alternativa que reproduz fielmente o enunciado e o conteúdo da lei.

Gabarito: letra E