Questão de Raciocínio Lógico — Proposições Simples e Compostas e Operadores Lógicos — VUNESP 2025
Raciocínio Lógico›Proposições Simples e Compostas e Operadores Lógicos
Código
vu108088
Banca
VUNESP
Órgão
SEDUC-SP
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Professor de Educação Básica II - Matemática
Em Lógica, o conectivo ∨ representa a disjunção exclusiva, de maneira que a operação lógica p ∨ q é verdadeira quando apenas uma das proposições p ou q for verdadeira.Dadas as proposições simples p e q, é tautológica a proposição composta
A∼p ∨ ((p ∧ q) ∨ (p → q))
Bp ∨ (q ↔ (∼p → q))
C∼((p ∨ q) ∧ ∼q)
D∼(p ∧ q) → ((q ∨ p) ↔ (p ∨ q))
E((p ∨ q) ∨ (p ∨ q)) ↔ ∼p
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GabaritoD — ∼(p ∧ q) → ((q ∨ p) ↔ (p ∨ q))
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Tautologia com disjunção exclusiva
Gabarito: letra D. Após construir as tabelas-verdade para cada alternativa, considerando que o conectivo ∨ representa a disjunção exclusiva (XOR), a única proposição que resulta verdadeira para todas as combinações de p e q é a alternativa D: ∼(p ∧ q) → ((q ∨ p) ↔ (p ∨ q)). Nela, o consequente (q ∨ p) ↔ (p ∨ q) é sempre verdadeiro por identidade, e o antecedente ∼(p ∧ q) é falso apenas quando p e q são ambos verdadeiros, mas nesse caso a implicação é verdadeira (falso → verdadeiro). Assim, a proposição é sempre verdadeira.
Em todas as alternativas, o conectivo ∨ deve ser interpretado como "ou exclusivo" (XOR), conforme definido no enunciado: só é verdadeiro quando exatamente uma das proposições é verdadeira.
p
q
~(p ∧ q)
(q ∨ p) ↔ (p ∨ q)
~(p ∧ q) → ((q ∨ p) ↔ (p ∨ q))
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
V
F
F
V
V
V
Alternativa A — ❌ Incorreta
∼p ∨ ((p ∧ q) ∨ (p → q)). Avaliando a tabela, obtém-se valor lógico falso em todas as linhas (contradição). Não é tautologia.
Alternativa B — ❌ Incorreta
p ∨ (q ↔ (∼p → q)). A tabela-verdade mostra que a proposição é falsa quando p e q são verdadeiros. Logo, não é tautológica.
Alternativa C — ❌ Incorreta
∼((p ∨ q) ∧ ∼q). A tabela-verdade resulta falsa quando p é verdadeiro e q falso. Portanto, não é tautologia.
Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO
∼(p ∧ q) → ((q ∨ p) ↔ (p ∨ q)). O consequente é a bicondicional de duas expressões idênticas (q∨p e p∨q são ambas o XOR), portanto sempre verdadeiro. O antecedente é falso apenas no caso (p=V, q=V); nesse caso a implicação V→V é verdadeira. Nos demais casos, antecedente verdadeiro e consequente verdadeiro também dão implicação verdadeira. Assim, a proposição é verdadeira em todas as quatro linhas → tautologia.
Alternativa E — ❌ Incorreta
((p ∨ q) ∨ (p ∨ q)) ↔ ∼p. A expressão (p∨q) ∨ (p∨q) é um XOR de um valor consigo mesmo, resultando sempre falso. Então a bicondicional falso ↔ ∼p é verdadeira apenas quando ∼p é falso (p verdadeiro), mas falsa quando p falso. Não é tautologia.
NÃO CAIA NESSA!
Muitos candidatos podem interpretar o símbolo ∨ como a disjunção inclusiva (OR comum), mas a questão define explicitamente que ele representa a disjunção exclusiva (XOR). Aplique sempre a definição dada – p ∨ q é verdadeiro se e somente se exatamente uma das proposições é verdadeira.