Raciocínio Lógico · VUNESP · 2025 | Questão sqc-vu108092

Raciocínio LógicoProblemas Lógicos

Código: vu108092
Banca: VUNESP
Órgão: SEDUC-SP
Ano: 2025
Nível: Superior

Cargo: Professor de Educação Básica II - Matemática

Dois carrinhos correm lado a lado sobre uma pista retilínea, de uma extremidade a outra da pista, de maneira que, ao atingirem uma extremidade, invertem instantaneamente o sentido e correm para a extremidade oposta. As extremidades da pista são denominadas A e B, e cada carrinho percorre sempre uma mesma distância a cada segundo. Considere que o carrinho mais lento foi colocado na extremidade A, o carrinho mais rápido na extremidade B e que em seguida iniciaram seus movimentos. Quando os carrinhos se encontraram pela primeira vez, estavam a 20 dm da extremidade A e continuaram correndo de maneira que o carrinho mais rápido chegou à extremidade A, inverteu seu sentido, ultrapassou o carrinho mais lento e, quando chegou à extremidade B, o carrinho mais lento ainda estava a 14 dm de distância de B.O comprimento dessa pista, em dm, está compreendido entre

A75 e 85.
B55 e 65.
C65 e 75.
D45 e 55.
E35 e 45.

Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 65 e 75.

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Problemas com Velocidade e Distância – Movimento com inversão de sentido

Gabarito: letra C. O comprimento da pista é 70 dm, obtido resolvendo o sistema de equações do movimento. Esse valor está no intervalo 65 a 75 dm.

A questão envolve dois carrinhos com velocidades constantes, partindo de extremos opostos e invertendo o sentido instantaneamente ao alcançar uma extremidade. A chave é escrever as posições em função do tempo e usar as informações do primeiro encontro e do instante em que o rápido chega a B.

Modelagem do problema

Seja $L$ o comprimento da pista (em dm). Colocamos a extremidade A em $x=0$ e B em $x=L$ .

Carrinho lento: parte de A no instante $t=0$ com velocidade $v_l$ (sentido positivo).
Carrinho rápido: parte de B no instante $t=0$ com velocidade $v_r$ (sentido negativo).

Primeiro encontro: ocorre a 20 dm de A, ou seja, em $x=20$ . O tempo até o encontro é $t_1 = 20/v_l$ . A distância percorrida pelo rápido é $L-20$ , logo

v_r = \frac{L-20}{t_1} = \frac{L-20}{20/v_l} = v_l \cdot \frac{L-20}{20} \quad\Rightarrow\quad \frac{v_r}{v_l} = \frac{L-20}{20} \qquad (1)

Após o primeiro encontro: o rápido continua em direção a A (sentido negativo). Chega a A ( $x=0$ ) após percorrer 20 dm, gastando $\Delta t = 20/v_r$ . Nesse instante, a posição do lento é

x_l(t_A) = 20 + v_l \cdot \Delta t = 20 + v_l \cdot \frac{20}{v_r} = 20 + 20\cdot\frac{v_l}{v_r} = 20 + 20\cdot\frac{20}{L-20} = 20 + \frac{400}{L-20}.

No mesmo instante $t_A$ , o rápido inverte o sentido e passa a se mover para a direita com velocidade $v_r$ . A partir daí, ambos se movem para a direita, mas o rápido é mais veloz e ultrapassará o lento em algum ponto antes de B.

Quando o rápido chega a B: o tempo de A até B é $T_B = L/v_r$ . Nesse momento, a posição do lento é

x_l = x_l(t_A) + v_l \cdot T_B = 20 + \frac{400}{L-20} + v_l \cdot \frac{L}{v_r}.

Substituindo $v_l/v_r = 20/(L-20)$ de (1):

x_l = 20 + \frac{400}{L-20} + L \cdot \frac{20}{L-20} = 20 + \frac{400 + 20L}{L-20}.

O enunciado afirma que nesse instante o lento está a 14 dm de B, ou seja, $x_l = L - 14$ . Portanto:

20 + \frac{400 + 20L}{L-20} = L - 14.

Multiplicando ambos os lados por $(L-20)$ :

20(L-20) + 400 + 20L = (L-14)(L-20) \\ 20L - 400 + 400 + 20L = L^2 - 20L - 14L + 280 \\ 40L = L^2 - 34L + 280 \\ 0 = L^2 - 74L + 280.

Resolvendo a equação quadrática:

\Delta = 74^2 - 4\cdot280 = 5476 - 1120 = 4356 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{\Delta}=66.

L = \frac{74 \pm 66}{2} \;\Rightarrow\; L_1 = 70,\; L_2 = 4.

A solução $L=4$ é impossível (o primeiro encontro a 20 dm de A não faria sentido). Portanto, $L = 70$ dm.

Análise das alternativas

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o comprimento está entre 75 e 85 dm. O valor calculado (70 dm) é inferior a 75.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que está entre 55 e 65 dm. 70 dm está acima de 65.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O comprimento é 70 dm, que está no intervalo de 65 a 75 dm.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Intervalo 45–55 dm; 70 dm é maior.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Intervalo 35–45 dm; 70 dm é maior.

Fluxo do movimento (diagrama ilustrativo)

Gabarito: letra C.

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