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Questão de Matemática — Áreas e Perímetros — VUNESP 2025

MatemáticaÁreas e Perímetros
Código
vu108094
Banca
VUNESP
Órgão
SEDUC-SP
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Professor de Educação Básica II - Matemática
Leia o texto a seguir para responder à questão:


No plano cartesiano, a reta r é suporte do lado AD do quadrado ABCD, a reta s intersecta o lado BC do quadrado em seu ponto médio M e A = (2, 7), de acordo com o esboço da figura.


Imagem da questão
Se as retas indicadas tiverem equações r: 5x – 3y = –11 e s: x + 3y = 33, a área do quadrado ABCD será
  1. A140.
  2. B136.
  3. C144.
  4. D148.
  5. E152.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 136.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a A área do quadrado é 850/81, que não corresponde a nenhuma alternativa. Há um erro na interpretação do problema..

A ideia por trás

A área de um quadrado é a medida da superfície que ele ocupa, calculada elevando ao quadrado o comprimento do seu lado. Para descobrir esse lado, precisamos usar as informações geométricas dadas: as retas r e s são suportes de lados do quadrado, e a reta s corta o lado BC exatamente no seu ponto médio.

A distância entre dois pontos no plano é dada por d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²). Quando temos um quadrado, todos os lados têm o mesmo comprimento, então a área é lado². A relação importante aqui é que a reta s, ao passar pelo ponto médio de BC, divide esse lado em dois segmentos iguais, o que nos permite relacionar as coordenadas dos vértices.

Esta questão cobra a aplicação de distância entre pontos e a propriedade do ponto médio em um quadrado. Precisamos encontrar as coordenadas dos vértices usando as equações das retas e a condição de que s passa pelo ponto médio de BC.

O que a questão dá

  • equação da reta r: 5x - 3y = -11

  • equação da reta s: x + 3y = 33

  • ponto A = (2, 7) pertence à reta r

  • a reta s passa pelo ponto médio do lado BC do quadrado

O que queremos: a área do quadrado ABCD

Passo 1 — Encontrar o ponto de interseção das retas

As retas r e s se cruzam em um ponto que é um vértice do quadrado (provavelmente D). Precisamos desse ponto para calcular a distância até A, que será o lado do quadrado.

Por que esta fórmula: Para achar a interseção, resolvemos o sistema linear formado pelas duas equações. Somamos as equações para eliminar y e encontrar x.

{5x−3y=−11x+3y=33\begin{cases} 5x - 3y = -11 \\ x + 3y = 33 \end{cases}

De onde vem cada valor: 5x−3y=−115x - 3y = -11 = enunciado: equação de r · x+3y=33x + 3y = 33 = enunciado: equação de s

{5x−3y=−11x+3y=33⇒6x=22⇒x=113\begin{cases} 5x - 3y = -11 \\ x + 3y = 33 \end{cases} \Rightarrow 6x = 22 \Rightarrow x = \frac{11}{3}
x=11 /3x = \boxed{11\ /3}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma das equações: 5x + x = 6x, -3y + 3y = 0, -11 + 33 = 22

Passo 2 — Calcular a coordenada y do ponto de interseção

Com o valor de x, substituímos em uma das equações para obter y. Esse ponto é o vértice D do quadrado.

Por que esta fórmula: Usamos a equação de s (mais simples) para isolar y.

y=33−x3y = \frac{33 - x}{3}

De onde vem cada valor: xx = passo 1: 11/3 · 3333 = enunciado: termo independente de s

y=33−1133=99−1133=889y = \frac{33 - \frac{11}{3}}{3} = \frac{\frac{99 - 11}{3}}{3} = \frac{88}{9}
y=88 /9y = \boxed{88\ /9}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 3 ao isolar y

Passo 3 — Calcular a distância entre A e D

A e D são vértices consecutivos do quadrado, então a distância entre eles é o lado. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos.

Por que esta fórmula: A distância entre dois pontos no plano é a raiz quadrada da soma dos quadrados das diferenças das coordenadas.

d = √((x_D - x_A)^2 + (y_D - y_A)^2)

De onde vem cada valor: xDx_D = passo 1: 11/3 · yDy_D = passo 2: 88/9 · xAx_A = enunciado: 2 · yAy_A = enunciado: 7

d = sqrt((11)/(3) - 2)^2 + ((88)/(9) - 7)^2 = sqrt((5)/(3))^2 + ((25)/(9))^2
d=√(850/81)d = \boxed{√(850/81)}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a subtração das frações: 11/3 - 2 = 5/3, 88/9 - 7 = 25/9

Passo 4 — Elevar o lado ao quadrado para obter a área

A área do quadrado é o quadrado do lado. Como já temos a distância ao quadrado, basta simplificar.

Por que esta fórmula: Área do quadrado = lado².

A=d2A = d^{2}

De onde vem cada valor: dd = passo 3: √(850/81)

A=(85081)2=85081=850 /81≈10,49A = \left(\sqrt{\frac{850}{81}}\right)^{2} = \frac{850}{81} = \boxed{850\ /81 ≈ 10,49}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar ao quadrado a raiz

Resposta: A área do quadrado é 850/81, que não corresponde a nenhuma alternativa. Há um erro na interpretação do problema.

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