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Questão de Matemática — Seno, Cosseno e Tangente — VUNESP 2025

MatemáticaSeno, Cosseno e Tangente
Código
vu108096
Banca
VUNESP
Órgão
SEDUC-SP
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Professor de Educação Básica II - Matemática
Seja x um ângulo em radianos pertencente ao intervalo aberto (0, π/2 ) e tal que 1 + cotg²x / 3 sec²x = 5 . Então sen x é igual a
  1. A1/8
  2. B1/2
  3. C1/16
  4. D1/4
  5. E1/32
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 1/4

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a sen x = 1/4, alternativa D.

A ideia por trás

A cotangente e a secante são razões trigonométricas que podem ser escritas em termos de seno e cosseno: cotg x = cos x / sen x e sec x = 1 / cos x. A relação fundamental da trigonometria, sen²x + cos²x = 1, liga essas duas funções e permite transformar expressões que envolvem várias razões em equações apenas com seno ou cosseno. Nesta questão, a expressão dada mistura cotangente e secante; reescrevendo-as e aplicando a relação fundamental, chegamos a uma equação que envolve apenas sen²x, e então extraímos a raiz para obter sen x, lembrando que no primeiro quadrante o seno é positivo.

O que a questão dá

  • x ∈ (0, π/2)

  • (1 + cotg²x) / (3 · sec²x) = 5

O que queremos: o valor de sen x

Passo 1 — Reescrever cotangente e secante

Para simplificar a expressão, precisamos expressar todas as razões em termos de seno e cosseno, pois são as funções mais básicas e a relação fundamental as conecta.

Por que esta fórmula: Por definição, cotg x = cos x / sen x e sec x = 1 / cos x. Essas identidades são sempre válidas quando os denominadores não são zero, o que é garantido no intervalo dado.

cot⁡x=cos⁡xsin⁡x,sec⁡x=1cos⁡x\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}, \quad \sec x = \frac{1}{\cos x}

De onde vem cada valor: cot⁡x\cot x = definição · sec⁡x\sec x = definição

NÃO CAIA NESSA!

Confundir cotangente com tangente invertida: cotg x = 1/tan x, mas é mais seguro usar cos/sen.

Passo 2 — Substituir na expressão original

Agora que temos as definições, substituímos na expressão dada para transformá-la em uma equação algébrica com seno e cosseno.

Por que esta fórmula: A expressão original é (1 + cotg²x) / (3 · sec²x) = 5. Substituindo cotg²x = cos²x/sen²x e sec²x = 1/cos²x, obtemos uma fração que pode ser simplificada.

1+cos⁡2xsin⁡2x3⋅1cos⁡2x=5\frac{1 + \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x}}{3 \cdot \frac{1}{\cos^{2} x}} = 5

De onde vem cada valor: cos⁡2x\cos^{2} x = da definição de secante · sin⁡2x\sin^{2} x = da definição de cotangente · 33 = enunciado: coeficiente da secante

1+cos⁡2xsin⁡2x3⋅1cos⁡2x=5\frac{1 + \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x}}{3 \cdot \frac{1}{\cos^{2} x}} = 5
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar ao quadrado as definições: cotg²x = (cos/sen)², não cos/sen².

Passo 3 — Simplificar o numerador

O numerador 1 + cos²x/sen²x pode ser combinado em uma única fração, o que facilitará a divisão pelo denominador.

Por que esta fórmula: Somamos as frações: 1 = sen²x/sen²x, então 1 + cos²x/sen²x = (sen²x + cos²x)/sen²x. Pela relação fundamental, sen²x + cos²x = 1, então o numerador vira 1/sen²x.

1+cos⁡2xsin⁡2x=sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡2x=1sin⁡2x1 + \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x} = \frac{\sin^{2} x + \cos^{2} x}{\sin^{2} x} = \frac{1}{\sin^{2} x}

De onde vem cada valor: sin⁡2x+cos⁡2x\sin^{2} x + \cos^{2} x = relação fundamental da trigonometria

1+cos⁡2xsin⁡2x=1sin⁡2x=1 /sen2x1 + \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x} = \frac{1}{\sin^{2} x} = \boxed{1\ /\text{sen}^{2}\text{x}}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que 1 + cos²x/sen²x = (1+cos²x)/sen²x, mas o 1 precisa ser escrito como sen²x/sen²x.

Passo 4 — Dividir pelo denominador

A expressão agora é uma fração dividida por outra fração; para simplificar, multiplicamos pelo inverso do denominador.

Por que esta fórmula: Dividir por 3/cos²x é o mesmo que multiplicar por cos²x/3. Assim, (1/sen²x) · (cos²x/3) = cos²x/(3·sen²x).

1sin⁡2x⋅cos⁡2x3=cos⁡2x3sin⁡2x\frac{1}{\sin^{2} x} \cdot \frac{\cos^{2} x}{3} = \frac{\cos^{2} x}{3 \sin^{2} x}

De onde vem cada valor: 1sin⁡2x\frac{1}{\sin^{2} x} = passo 3 · cos⁡2x3\frac{\cos^{2} x}{3} = inverso do denominador original

1sin⁡2x⋅cos⁡2x3=cos⁡2x3sin⁡2x=cos2x/(3⋅sen2x)\frac{1}{\sin^{2} x} \cdot \frac{\cos^{2} x}{3} = \frac{\cos^{2} x}{3 \sin^{2} x} = \boxed{\text{cos}^{2}\text{x}/(3\cdot \text{sen}^{2}\text{x})}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a fração errada: dividir por 3/cos²x é multiplicar por cos²x/3, não por 3/cos²x.

Passo 5 — Igualar a 5 e isolar cos²x

A expressão simplificada é igual a 5; agora resolvemos a equação para relacionar cos²x e sen²x.

Por que esta fórmula: Temos cos²x/(3·sen²x) = 5. Multiplicando ambos os lados por 3·sen²x, obtemos cos²x = 15·sen²x.

cos⁡2x3sin⁡2x=5⇒cos⁡2x=15sin⁡2x\frac{\cos^{2} x}{3 \sin^{2} x} = 5 \Rightarrow \cos^{2} x = 15 \sin^{2} x

De onde vem cada valor: cos⁡2x\cos^{2} x = passo 4 · sin⁡2x\sin^{2} x = passo 4 · 55 = enunciado

cos⁡2x3sin⁡2x=5⇒cos⁡2x=15sin⁡2x\frac{\cos^{2} x}{3 \sin^{2} x} = 5 \Rightarrow \cos^{2} x = 15 \sin^{2} x
cos2x=15 ⋅sen2xcos^{2}x = \boxed{15\ \cdot \text{sen}^{2}\text{x}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar o 5 pelo denominador: cos²x = 5·3·sen²x, não 5·sen²x.

Passo 6 — Usar a relação fundamental

Com cos²x em função de sen²x, substituímos na relação fundamental para obter uma equação apenas com sen²x.

Por que esta fórmula: A relação fundamental é sen²x + cos²x = 1. Substituindo cos²x por 15·sen²x, temos sen²x + 15·sen²x = 1, ou seja, 16·sen²x = 1.

sin⁡2x+cos⁡2x=1⇒sin⁡2x+15sin⁡2x=1⇒16sin⁡2x=1\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1 \Rightarrow \sin^{2} x + 15 \sin^{2} x = 1 \Rightarrow 16 \sin^{2} x = 1

De onde vem cada valor: sin⁡2x\sin^{2} x = relação fundamental · cos⁡2x\cos^{2} x = passo 5: 15·sen²x

sin⁡2x+15sin⁡2x=1\sin^{2} x + 15 \sin^{2} x = 1
16⋅sen2x=116 \cdot sen^{2}x = \boxed{1}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar os coeficientes: tratar sen²x + 15·sen²x como 15·sen²x, obtendo sen²x = 1/15.

Passo 7 — Extrair a raiz quadrada

A equação 16·sen²x = 1 dá o valor de sen²x; como a questão pede sen x, precisamos extrair a raiz, lembrando que x está no primeiro quadrante, então sen x é positivo.

Por que esta fórmula: De 16·sen²x = 1, dividimos por 16: sen²x = 1/16. A raiz quadrada de 1/16 é 1/4, e como x ∈ (0, π/2), o seno é positivo, então sen x = 1/4.

sin⁡2x=116⇒sin⁡x=14\sin^{2} x = \frac{1}{16} \Rightarrow \sin x = \frac{1}{4}

De onde vem cada valor: sin⁡2x\sin^{2} x = passo 6: 1/16

sin⁡x=116=14=1 /4\sin x = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4} = \boxed{1\ /4}
NÃO CAIA NESSA!

Parar em sen²x = 1/16 e marcar a alternativa C, esquecendo de extrair a raiz. Ou extrair errado: √(1/16) = 1/4, não 1/8.

Resposta: sen x = 1/4, alternativa D

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