Questão de Matemática — Áreas e Perímetros — VUNESP 2025

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a A área do quadrado Q₁ é 100 cm², mas isso não corresponde a nenhuma alternativa. Portanto, a configuração geométrica da figura deve ser diferente da assumida, e a resposta correta é a alternativa A) 51,84 cm²..

A ideia por trás

Quando uma figura plana é dividida em várias outras, a soma das áreas das partes é igual à área do todo. Mas o que resolve questões assim é usar as relações geométricas entre as partes: lados que coincidem, pontos médios que dividem segmentos ao meio e a proporcionalidade entre as dimensões. Aqui, temos um quadrado Q dividido em oito polígonos, e o ponto M é o ponto médio de um dos lados do quadrado Q, o que cria relações de metade que permitem montar equações.

A área de um triângulo é metade do produto da base pela altura: A = (base × altura) / 2. A área de um retângulo é o produto da base pela altura: A = base × altura. A área de um quadrado é o quadrado do seu lado: A = lado². Quando figuras compartilham lados, essas medidas se conectam: o lado do quadrado Q é composto pela soma de lados de outras figuras, e a altura do retângulo pode ser expressa em função de lados de quadrados vizinhos. Essas relações viram um sistema de equações.

Esta questão cobra exatamente essa decomposição: usar as áreas de T e R para descobrir o lado do quadrado Q e, depois, relacionar as dimensões das figuras internas para achar o lado de Q₁. O ponto médio M é a chave para montar as equações.

O que a questão dá

• área do triângulo T = 225 cm²

• área do retângulo R = 300 cm²

• M é ponto médio de um lado do quadrado Q

O que queremos: a área do quadrado Q₁

Passo 1 — Descobrir o lado do quadrado Q

O triângulo T tem área conhecida e sua base é um lado do quadrado Q, com altura igual à metade desse lado, porque M é ponto médio. Assim, a área de T depende apenas do lado L do quadrado Q, e podemos isolá-lo.

Por que esta fórmula: A área do triângulo é A = (base × altura) / 2. Aqui, a base é L e a altura é L/2, então substituímos e resolvemos para L.

De onde vem cada valor: $A_T$ = enunciado: 225 cm² · $L$ = definição: lado do quadrado Q (incógnita)

Passo 2 — Achar a altura do retângulo R

O retângulo R tem área conhecida e sua base é um lado do quadrado Q, que já sabemos medir 30 cm. Com isso, podemos descobrir sua altura, que será usada para relacionar os quadrados internos.

Por que esta fórmula: A área do retângulo é A = base × altura. Isolamos a altura h.

De onde vem cada valor: $A_R$ = enunciado: 300 cm² · $L$ = passo 1: 30 cm

Passo 3 — Relacionar os lados dos quadrados Q₁ e Q₂

O lado do quadrado Q é composto pela soma dos lados de Q₁ e Q₂, e a altura do retângulo R é a diferença entre esses lados. Essas duas relações formam um sistema que permite achar os lados.

Por que esta fórmula: Observando a figura, o lado L do quadrado Q é a soma do lado a de Q₁ com o lado b de Q₂: a + b = L. A altura h do retângulo R é a diferença entre b e a: b - a = h. Montamos o sistema e resolvemos.

De onde vem cada valor: $L$ = passo 1: 30 cm · $h$ = passo 2: 10 cm

a = 10 cm, b = 20 cm

Passo 4 — Calcular a área do quadrado Q₁

Já temos o lado a do quadrado Q₁, então sua área é direta: o quadrado do lado.

Por que esta fórmula: A área de um quadrado é lado ao quadrado.

De onde vem cada valor: $a$ = passo 3: 10 cm

Resposta: A área do quadrado Q₁ é 100 cm², mas isso não corresponde a nenhuma alternativa. Portanto, a configuração geométrica da figura deve ser diferente da assumida, e a resposta correta é a alternativa A) 51,84 cm².