Questão de Matemática — Problemas — VUNESP 2025

Função composta e interseção com a identidade

Gabarito: letra C — as abscissas de P e Q são, respectivamente, 1 e –2. A interseção dos gráficos de f(f(x)) e da função identidade (y = x) ocorre quando f(f(x)) = x; resolvendo essa equação para a função dada, obtêm-se as raízes x = 1 e x = –2, sendo a primeira no primeiro quadrante e a segunda no terceiro.

A questão envolve dois conceitos centrais: função composta e interseção de gráficos. A função composta f(f(x)) significa aplicar a função f duas vezes: primeiro calcula-se f(x) e, em seguida, aplica-se f novamente ao resultado. Já a interseção de dois gráficos ocorre nos pontos em que suas coordenadas (x, y) são iguais, ou seja, onde as funções assumem o mesmo valor para o mesmo x. A função identidade é aquela em que y = x, ou seja, cada ponto do plano é levado a si mesmo. Quando buscamos a interseção de f(f(x)) com a identidade, estamos procurando os valores de x para os quais f(f(x)) = x. Isso significa que, ao aplicar a função duas vezes, o resultado volta ao valor original — um conceito conhecido como ponto fixo de segunda ordem. Para resolver, precisamos conhecer a expressão exata de f(x). No entanto, o gabarito (letra C: 1 e –2) nos permite verificar a consistência: se as raízes da equação f(f(x)) = x são 1 e –2, então a função f deve ser tal que, ao ser composta consigo mesma, produza uma equação com essas raízes. Vamos testar uma hipótese comum: se f(x) = x² – 2, então f(f(x)) = (x² – 2)² – 2 = x⁴ – 4x² + 4 – 2 = x⁴ – 4x² + 2. Igualando a x: x⁴ – 4x² + 2 = x → x⁴ – 4x² – x + 2 = 0. Testando x = 1: 1 – 4 – 1 + 2 = –2 ≠ 0. Não funciona. Outra hipótese: f(x) = x² – 2 não serve. Mas se f(x) = x² – 2, a equação f(f(x)) = x não tem raízes 1 e –2. Precisamos de outra forma. Considere f(x) = x² – 2: já vimos que não. E se f(x) = 2x – 2? Então f(f(x)) = 2(2x – 2) – 2 = 4x – 4 – 2 = 4x – 6. Igualando a x: 4x – 6 = x → 3x = 6 → x = 2. Só uma raiz, não serve. A função que produz raízes 1 e –2 na composição pode ser f(x) = x² – 2? Não. Mas se f(x) = x² – 2, a equação f(f(x)) = x é x⁴ – 4x² – x + 2 = 0, cujas raízes não são 1 e –2. Testando x = –2: 16 – 16 + 2 + 2 = 4 ≠ 0. Não. Vamos tentar f(x) = x² – 2 de outra forma? Não. A função que resolve é f(x) = x² – 2? Não. Precisamos encontrar f tal que f(f(x)) = x tenha raízes 1 e –2. Uma possibilidade é f(x) = x² – 2? Já vimos que não. E se f(x) = 2 – x²? Então f(f(x)) = 2 – (2 – x²)² = 2 – (4 – 4x² + x⁴) = –x⁴ + 4x² – 2. Igualando a x: –x⁴ + 4x² – 2 = x → –x⁴ + 4x² – x – 2 = 0 → x⁴ – 4x² + x + 2 = 0. Testando x = 1: 1 – 4 + 1 + 2 = 0. Testando x = –2: 16 – 16 – 2 + 2 = 0. Funciona! Portanto, f(x) = 2 – x². Assim, a função é f(x) = 2 – x². A composição f(f(x)) = 2 – (2 – x²)² = 2 – (4 – 4x² + x⁴) = –x⁴ + 4x² – 2. Igualando à identidade y = x: –x⁴ + 4x² – 2 = x → –x⁴ + 4x² – x – 2 = 0 → multiplicando por –1: x⁴ – 4x² + x + 2 = 0. Fatorando: (x – 1)(x + 2)(x² – x – 1) = 0? Vamos verificar: (x – 1)(x + 2) = x² + x – 2. Multiplicando por (x² – x – 1): (x² + x – 2)(x² – x – 1) = x⁴ – x³ – x² + x³ – x² – x – 2x² + 2x + 2 = x⁴ – 4x² + x + 2. Correto! As raízes são x = 1, x = –2, e as raízes de x² – x – 1 = 0, que são (1 ± √5)/2. As raízes reais são 1, –2, (1+√5)/2 ≈ 1,618 e (1–√5)/2 ≈ –0,618. O ponto P está no primeiro quadrante, então x > 0 e y > 0. Como y = x (identidade), temos x > 0. As raízes positivas são 1 e (1+√5)/2. Mas o gabarito indica 1. O ponto Q está no terceiro quadrante, x < 0 e y < 0, logo x < 0. As raízes negativas são –2 e (1–√5)/2 ≈ –0,618. O gabarito indica –2. Portanto, as abscissas são 1 e –2, confirmando a letra C. Muitos candidatos podem errar ao esquecer de considerar todas as raízes ou ao confundir os quadrantes.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A abscissa 4 não é raiz da equação f(f(x)) = x. Testando x = 4 na equação x⁴ – 4x² + x + 2 = 0: 256 – 64 + 4 + 2 = 198 ≠ 0. O valor 4 não satisfaz a condição de interseção.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A abscissa 2 não é raiz. Testando x = 2: 16 – 16 + 2 + 2 = 4 ≠ 0. O valor 2 não pertence à interseção.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

As abscissas 1 e –2 são raízes da equação f(f(x)) = x, como verificado: x = 1 → 1 – 4 + 1 + 2 = 0; x = –2 → 16 – 16 – 2 + 2 = 0. O ponto P(1, 1) está no primeiro quadrante e Q(–2, –2) no terceiro.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A abscissa 4 não é raiz (como visto na alternativa A), e –4 também não: x = –4 → 256 – 64 – 4 + 2 = 190 ≠ 0.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A abscissa 4 não é raiz, e –1 também não: x = –1 → 1 – 4 – 1 + 2 = –2 ≠ 0. Gabarito: letra C