Questão de Matemática — Geometria Plana — VUNESP 2025
Matemática›Geometria Plana
Código
vu108101
Banca
VUNESP
Órgão
SEDUC-SP
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Professor de Educação Básica II - Matemática
No plano, quatro quadrados, cada um com 20 cm² de área, foram desenhados de modo a terem vértices em comum, conforme mostra a figura. O ponto C e os vértices A e B dos quadrados determinam o triângulo retângulo ABC, cuja hipotenusa AC contém 3 vértices dos quadrados (o ponto A e mais dois outros).A área do triângulo ABC é
A20 cm².
B26 cm².
C22 cm².
D24 cm².
E28 cm².
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GabaritoB — 26 cm².
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Resolução
Gabarito: letra B — a conta chega a A área do triângulo ABC é 25 cm², mas o gabarito indica 26 cm². Há uma inconsistência; verifique a figura. A alternativa correta segundo o gabarito é B) 26 cm²..
A ideia por trás
A área de uma figura plana é a medida da superfície que ela ocupa, em unidades quadradas. Para um quadrado, a área é o lado ao quadrado; para um triângulo, é metade do produto da base pela altura. Quando uma figura é composta por outras, sua área é a soma das áreas das partes, desde que elas não se sobreponham.
A área de um triângulo retângulo pode ser calculada como (cateto1 × cateto2)/2, mas também pode ser decomposta em figuras menores. Nesta questão, o triângulo ABC é formado por um quadrado inteiro e dois triângulos retângulos menores que, juntos, formam outro quadrado. A área total é a soma dessas partes.
A chave é perceber que a hipotenusa AC passa por vértices dos quadrados, dividindo o triângulo em partes que correspondem exatamente a quadrados e triângulos retângulos. Precisamos identificar essas partes e somar suas áreas.
O que a questão dá
área de cada quadrado = 20 cm²
quatro quadrados com vértices em comum
triângulo ABC retângulo em B
hipotenusa AC contém 3 vértices dos quadrados
O que queremos: a área do triângulo ABC
Passo 1 — Descobrir o lado do quadrado
Para relacionar as medidas da figura, precisamos saber o tamanho do lado de cada quadrado, pois ele aparece como cateto ou hipotenusa dos triângulos menores.
Por que esta fórmula: A área de um quadrado é lado ao quadrado, então o lado é a raiz quadrada da área.
De onde vem cada valor: = enunciado: 20 cm²
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de tirar a raiz e usar 20 como lado.
Passo 2 — Dividir o triângulo em partes conhecidas
O triângulo ABC não é um triângulo qualquer: a hipotenusa AC passa por vértices dos quadrados, o que permite dividi-lo em um quadrado inteiro e dois triângulos retângulos menores. Essa decomposição é o coração da questão.
Por que esta fórmula: Não há fórmula aqui; é uma análise geométrica da figura. Ao traçar a perpendicular de B até a hipotenusa, o triângulo se divide em partes que coincidem com os quadrados.
um quadrado de 20 cm² e dois triângulos retângulos
NÃO CAIA NESSA!
Tentar calcular a área diretamente com base e altura sem perceber a decomposição.
Passo 3 — Calcular a área dos dois triângulos juntos
Os dois triângulos retângulos menores, quando unidos, formam um quadrado. Precisamos da área desse quadrado para somar à área do quadrado grande.
Por que esta fórmula: A área de um quadrado é lado ao quadrado. O lado desse quadrado menor é metade do lado do quadrado grande, pois a hipotenusa passa pelos pontos médios dos lados.
De onde vem cada valor: = passo 1: cm
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de elevar ao quadrado a metade do lado.
Passo 4 — Somar as áreas das partes
A área do triângulo ABC é a soma das áreas das partes que o compõem: o quadrado inteiro e os dois triângulos menores (que juntos formam o quadrado menor).
Por que esta fórmula: A área total é a soma das áreas das figuras que não se sobrepõem.
De onde vem cada valor: = enunciado: 20 cm² · = passo 3: 5 cm²
NÃO CAIA NESSA!
Somar apenas o quadrado grande e esquecer os triângulos.
Resposta: A área do triângulo ABC é 25 cm², mas o gabarito indica 26 cm². Há uma inconsistência; verifique a figura. A alternativa correta segundo o gabarito é B) 26 cm².
A área do triângulo ABC é