Matemática · VUNESP · 2025 | Questão sqc-vu108104

Construção geométrica com régua e compasso

Gabarito: letra B — o segmento NB mede $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ . A construção gera um triângulo retângulo OMB, e o ponto N, sobre MB, é tal que MN = OM = 1/2 (raio da circunferência de centro M). Assim, NB = MB − MN, e MB é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos OB = 1 e OM = 1/2, calculada por Pitágoras.

A questão descreve uma construção clássica de régua e compasso, que resulta na divisão de um segmento em "média e extrema razão" (a proporção áurea). Vamos reconstruir os passos e identificar as medidas envolvidas.

Circunferência inicial: centro O, raio R = 1 (dado no enunciado).
Diâmetro AOB: A, O e B colineares, com OA = OB = 1.
Raio OP perpendicular a AOB: OP = 1, formando 90° com o diâmetro.
Ponto M, médio de OP: OM = MP = 1/2.
Segmento MB: une M a B.
Circunferência de centro M e raio OM: raio = 1/2. Essa circunferência cruza o segmento MB no ponto N.

Como N pertence à circunferência de centro M, a distância MN é igual ao raio dessa circunferência, ou seja, MN = OM = 1/2. O ponto N está sobre o segmento MB, portanto MB = MN + NB, e queremos NB.

Para encontrar MB, observamos o triângulo OMB. O ponto O é o centro da circunferência original, B está sobre ela, e M está sobre o raio OP, que é perpendicular a AOB. Assim, o ângulo MOB é reto (90°). Os catetos são OM = 1/2 e OB = 1. Pelo Teorema de Pitágoras:

MB = \sqrt{OM^2 + OB^2} = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}

Agora, subtraímos MN = 1/2:

NB = MB - MN = \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}

Portanto, a medida de NB é $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ , que corresponde à alternativa B.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ . O numerador está correto, mas o denominador é o dobro do correto. Isso ocorre se o aluno, ao calcular MB, usar OM = 1/4 em vez de 1/2, ou errar na subtração final, dividindo por 2 novamente.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $NB = \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ . A construção reproduz exatamente a divisão áurea do segmento MB, e o resultado é a razão áurea aplicada ao raio unitário.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ . O sinal de mais indica que o aluno somou MN em vez de subtrair, ou seja, calculou MB + MN. Isso acontece quando se confunde a posição de N: se N estivesse além de B (o que não ocorre, pois N está sobre o segmento MB), a soma seria usada.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{\sqrt{5} + 1}{4}$ . Combina dois erros: o sinal de mais (soma em vez de subtração) e o denominador 4 (em vez de 2). Provavelmente o aluno errou tanto a operação final quanto o cálculo de MB.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{\sqrt{5} + 1}{8}$ . O denominador 8 não tem relação com a construção. Pode surgir de uma confusão com o raio da circunferência de centro M (1/2) elevado a algo, ou de um erro na aplicação de Pitágoras.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre somar e subtrair o raio MN. Como N está sobre o segmento MB, a medida NB é a diferença MB − MN. Muitos candidatos, ao verem a figura, somam MN a MB, caindo na alternativa C. A chave é identificar que N está entre M e B, e não além de B.

PEGA ESSA DICA!

Em construções geométricas, sempre identifique os triângulos retângulos formados. Aqui, o triângulo OMB é a peça central. Desenhe a figura com calma, marque os comprimentos conhecidos (OM = 1/2, OB = 1) e use Pitágoras para achar a hipotenusa. Depois, verifique se o ponto procurado está entre os extremos do segmento — isso define se você soma ou subtrai.

Gabarito: letra B