Matemática · VUNESP · 2025 | Questão sqc-vu108105

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 47,8 cm — alternativa D.

A ideia por trás

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência de números em que cada termo é o anterior somado a uma constante r, chamada razão. A área de um retângulo é o produto do comprimento pela largura; aqui todos os retângulos têm a mesma largura x, então a área de cada um é x vezes o seu comprimento. O perímetro de um retângulo é a soma do dobro do comprimento com o dobro da largura.

A soma dos n primeiros termos de uma PA é S = (a₁ + aₙ)·n/2, onde a₁ é o primeiro termo e aₙ o último. Como a área de cada retângulo é x vezes o termo da PA, a soma das áreas é x vezes a soma dos termos da PA. A razão r relaciona os termos: aₙ = a₁ + (n-1)·r. Se a PA está ordenada do menor para o maior, o maior termo é o último, e o k-ésimo maior termo é o termo de posição n - k + 1.

Esta questão pede para combinar a fórmula da soma da PA com a informação das áreas para achar x e r, e depois localizar o retângulo R na PA. O passo crítico é perceber que a 10ª maior área corresponde ao 12º termo da PA, não ao 10º.

O que a questão dá

número de retângulos = 21
lado maior do retângulo de maior área = 25 cm
soma das áreas de todos os retângulos = 2352 cm²
o retângulo R tem a 10ª maior área
o quadrado Q tem a menor área

O que queremos: o perímetro do retângulo R

Passo 1 — Montar a equação da soma das áreas

Temos a soma das áreas e sabemos que cada área é x vezes o termo da PA. Então a soma das áreas é x vezes a soma dos termos da PA. Precisamos expressar essa soma em função de x para achar x.

Por que esta fórmula: A soma dos termos de uma PA é (primeiro + último) × número de termos / 2. Aqui o primeiro termo é x (lado do quadrado Q) e o último é 25 cm. Então a soma dos termos é (x + 25)·21/2. Multiplicando por x, temos a soma das áreas.

x \cdot \frac{(x + 25) \cdot 21}{2} = 2352

De onde vem cada valor: $x$ = definição: lado do quadrado Q, que é o menor termo da PA · $25$ = enunciado: lado maior do retângulo de maior área · $21$ = enunciado: número de retângulos · $2352$ = enunciado: soma das áreas

x \cdot \frac{(x + 25) \cdot 21}{2} = 2352

x^{2} + 25x - 224 = \boxed{0}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por x, tratando a soma das áreas como a soma dos termos da PA.

Passo 2 — Resolver a equação do segundo grau

A equação do passo anterior é uma quadrática em x. Precisamos resolvê-la para achar o valor de x, que é o lado do quadrado Q e o menor termo da PA.

Por que esta fórmula: A equação x² + 25x - 224 = 0 é da forma ax² + bx + c = 0. Usamos a fórmula de Bhaskara: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a).

x = \frac{-25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-224)}}{2 \cdot 1}

De onde vem cada valor: $25$ = passo 1: coeficiente b da equação · $-224$ = passo 1: coeficiente c da equação · $1$ = constante: coeficiente a da equação

x = \frac{-25 \pm \sqrt{625 + 896}}{2} = \frac{-25 \pm \sqrt{1521}}{2} = \frac{-25 \pm 39}{2}

x = \boxed{7 cm (a raiz negativa -32 não convém)}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que o lado não pode ser negativo e considerar a raiz negativa.

Passo 3 — Calcular a razão da progressão

Com o primeiro termo x = 7 e o último termo 25, podemos achar a razão r da PA, que é necessária para localizar o termo correspondente ao retângulo R.

Por que esta fórmula: O último termo de uma PA é a₁ + (n-1)·r. Aqui n = 21, a₁ = 7, a₂₁ = 25. Isolamos r.

25 = 7 + 20 \cdot r

De onde vem cada valor: $25$ = enunciado: último termo da PA · $7$ = passo 2: primeiro termo x · $20$ = constante: número de intervalos entre 21 termos

25 = 7 + 20r \Rightarrow 18 = 20r \Rightarrow r = 0{,}9

r = \boxed{0{,}9\ \text{cm}}

NÃO CAIA NESSA!

Usar 21 em vez de 20 na fórmula, pois são 21 termos e 20 intervalos.

Passo 4 — Localizar o termo do retângulo R

O retângulo R tem a 10ª maior área. Como todos têm a mesma largura x, a maior área corresponde ao maior lado maior. Na PA ordenada do menor para o maior, o maior termo é o 21º, o segundo maior é o 20º, e assim por diante. O 10º maior é o termo de posição 21 - 10 + 1 = 12.

Por que esta fórmula: A posição do k-ésimo maior termo em uma PA de n termos é n - k + 1. Aqui n = 21, k = 10, então posição = 12.

posição = 21 - 10 + 1 = 12

De onde vem cada valor: $21$ = enunciado: número de termos · $10$ = enunciado: R é o 10º maior · $1$ = constante: ajuste para contar a partir do maior

posição = 12

$posição$ = o termo procurado é a₁₂

NÃO CAIA NESSA!

Usar diretamente a₁₀, confundindo a ordem crescente com a decrescente.

Passo 5 — Calcular o lado maior do retângulo R

Agora que sabemos que o retângulo R corresponde ao 12º termo da PA, calculamos esse termo usando a fórmula do termo geral.

Por que esta fórmula: O termo geral de uma PA é aₙ = a₁ + (n-1)·r. Aqui n = 12, a₁ = 7, r = 0,9.

a_{12} = 7 + 11 \cdot 0{,}9

De onde vem cada valor: $7$ = passo 2: primeiro termo · $11$ = constante: 12 - 1 · $0{,}9$ = passo 3: razão

a_{12} = 7 + 9{,}9 = 16{,}9 = \boxed{16{,}9\ \text{cm}}

NÃO CAIA NESSA!

Usar 12 em vez de 11 na multiplicação, pois são 11 intervalos até o 12º termo.

Passo 6 — Calcular o perímetro do retângulo R

O retângulo R tem lados x = 7 cm e a₁₂ = 16,9 cm. O perímetro é a soma dos quatro lados, ou seja, o dobro da soma dos dois lados diferentes.

Por que esta fórmula: O perímetro de um retângulo é P = 2·(comprimento + largura).

P = 2 \cdot (7 + 16{,}9)

De onde vem cada valor: $7$ = passo 2: lado menor · $16{,}9$ = passo 5: lado maior

P = 2 \cdot 23{,}9 = 47{,}8 = \boxed{47{,}8\ \text{cm}}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 2, dando 23,9 cm.

Resposta: 47,8 cm — alternativa D

Questão de Matemática — Áreas e Perímetros — VUNESP 2025

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Montar a equação da soma das áreas

Passo 2 — Resolver a equação do segundo grau

Passo 3 — Calcular a razão da progressão

Passo 4 — Localizar o termo do retângulo R

Passo 5 — Calcular o lado maior do retângulo R

Passo 6 — Calcular o perímetro do retângulo R