Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Seno, Cosseno e Tangente — VUNESP 2025

MatemáticaSeno, Cosseno e Tangente
Código
vu108109
Banca
VUNESP
Órgão
SEDUC-SP
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Professor de Educação Básica II - Matemática
Leia o texto a seguir para responder à questão: 


Em um cubo ABCDEFGH, M e N são, respectivamente, pontos médios das arestas AB e EH e O é a intersecção das diagonais da face ABCD. Sobre a aresta BC estão os pontos P e Q, tais que BP = PQ = QC, conforme mostra a figura.


Imagem da questão
Seja Q’ um ponto sobre a aresta FG tal que QQ’ ⊥ FG e defina o ângulo α = ∠QNQ’.O valor de cos² α é igual a
  1. A29/92
  2. B23/32
  3. C35/53
  4. D13/31
  5. E37/73
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 37/73

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a cos² α = 37/73 — alternativa E.

A ideia por trás

O cosseno de um ângulo em um triângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. Quando o triângulo não é retângulo, podemos usar a lei dos cossenos, que relaciona os três lados com o cosseno de um dos ângulos. Em problemas de geometria espacial, é comum precisar calcular distâncias entre pontos no espaço usando coordenadas.

A lei dos cossenos diz que em um triângulo com lados a, b, c, onde c é o lado oposto ao ângulo γ, vale c² = a² + b² - 2ab·cos(γ). Isolando o cosseno, temos cos(γ) = (a² + b² - c²)/(2ab). Essa fórmula funciona para qualquer triângulo, não apenas retângulos, e é a ferramenta certa quando conhecemos os três lados.

Esta questão pede o cosseno de um ângulo formado por segmentos no espaço. Precisamos calcular as distâncias entre os pontos Q, N e Q' usando coordenadas e, em seguida, aplicar a lei dos cossenos no triângulo QNQ'.

O que a questão dá

  • cubo ABCDEFGH com aresta de comprimento 3

  • M é ponto médio de AB

  • N é ponto médio de EH

  • O é a intersecção das diagonais da face ABCD

  • P e Q dividem a aresta BC em três partes iguais

  • Q' está sobre FG com QQ' perpendicular a FG

  • α = ∠QNQ'

O que queremos: o valor de cos² α

Passo 1 — Atribuir coordenadas aos pontos do cubo

Para calcular distâncias entre pontos no espaço, precisamos de um sistema de referência. Escolher coordenadas para os vértices do cubo permite localizar todos os pontos citados e, depois, usar a fórmula da distância entre dois pontos.

Por que esta fórmula: Não há fórmula aqui; é uma escolha de representação. Usamos aresta 3 para facilitar as divisões em três partes iguais.

A=(0,0,0), B=(3,0,0), C=(3,3,0), D=(0,3,0), E=(0,0,3), F=(3,0,3), G=(3,3,3), H=(0,3,3)

NÃO CAIA NESSA!

Escolher aresta 1 e depois ter que lidar com frações nas coordenadas; aresta 3 evita isso.

Passo 2 — Calcular as coordenadas dos pontos médios e divisores

Os pontos M, N, O, P, Q são definidos a partir dos vértices. Precisamos de suas coordenadas para depois calcular distâncias.

Por que esta fórmula: Ponto médio entre dois pontos é a média das coordenadas; divisão em três partes iguais usa interpolação linear.

M=A+B2,N=E+H2,O=A+C2M = \frac{A+B}{2}, \quad N = \frac{E+H}{2}, \quad O = \frac{A+C}{2}

De onde vem cada valor: AA = passo 1 · BB = passo 1 · EE = passo 1 · HH = passo 1 · CC = passo 1

M=(0,0,0)+(3,0,0)2=(1,5,0,0),N=(0,0,3)+(0,3,3)2=(0,1,5,3),O=(0,0,0)+(3,3,0)2=(1,5,1,5,0)M = \frac{(0{,}0,0)+(3{,}0,0)}{2} = (1{,}5{,}0,0), \quad N = \frac{(0{,}0,3)+(0{,}3,3)}{2} = (0{,}1{,}5{,}3), \quad O = \frac{(0{,}0,0)+(3{,}3,0)}{2} = (1{,}5{,}1{,}5{,}0)

M=(1,5;0;0), N=(0;1,5;3), O=(1,5;1,5;0)

NÃO CAIA NESSA!

Confundir as coordenadas de N, que está na aresta EH, não na face ABCD.

Passo 3 — Determinar as coordenadas de P e Q na aresta BC

P e Q dividem BC em três partes iguais, então precisamos de suas posições exatas para localizar Q e, depois, Q'.

Por que esta fórmula: Como BC vai de B a C, e queremos dividir em três partes, cada parte tem comprimento 1 no eixo y. P é o primeiro ponto após B, Q é o segundo.

P=B+13(C−B),Q=B+23(C−B)P = B + \frac{1}{3}(C-B), \quad Q = B + \frac{2}{3}(C-B)

De onde vem cada valor: BB = passo 1 · CC = passo 1

P=(3,0,0)+13(0,3,0)=(3,1,0),Q=(3,0,0)+23(0,3,0)=(3,2,0)P = (3{,}0,0) + \frac{1}{3}(0{,}3,0) = (3{,}1,0), \quad Q = (3{,}0,0) + \frac{2}{3}(0{,}3,0) = (3{,}2,0)

P=(3,1,0), Q=(3,2,0)

NÃO CAIA NESSA!

Inverter a ordem e colocar Q em (3,1,0) e P em (3,2,0).

Passo 4 — Encontrar as coordenadas de Q'

Q' está sobre FG e QQ' é perpendicular a FG. Como FG é paralela ao eixo y, a perpendicular que passa por Q deve ser paralela ao eixo z, então Q' tem a mesma coordenada x e y de Q, e z igual à de F e G.

Por que esta fórmula: A reta FG tem x=3 e z=3, variando y. A perpendicular a ela que passa por Q deve manter x e y fixos e variar z, então Q' = (3, 2, 3).

Q′=(3,2,3)Q' = \boxed{(3, 2, 3)}
NÃO CAIA NESSA!

Pensar que Q' está na aresta BC, mas está na aresta FG, que é paralela e acima.

Passo 5 — Calcular as distâncias entre os pontos do triângulo

Para usar a lei dos cossenos no triângulo QNQ', precisamos dos comprimentos dos três lados: QN, NQ' e QQ'.

Por que esta fórmula: A distância entre dois pontos no espaço é a raiz quadrada da soma dos quadrados das diferenças das coordenadas.

d(P_1,P_2) = √((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2)

De onde vem cada valor: QQ = passo 3 · NN = passo 2 · Q′Q' = passo 4

QN = sqrt(3-0)^2 + (2-1,5)^2 + (0-3)^2 = sqrt9 + 0,25 + 9 = sqrt18,25 = (√(73))/(2), quad NQ' = sqrt(0-3)^2 + (1,5-2)^2 + (3-3)^2 = sqrt9 + 0,25 = (√(37))/(2), quad QQ' = √((3-3)^2 + (2-2)^2 + (3-0)^2 = 3)

QN = √73/2, NQ' = √37/2, QQ' = 3

NÃO CAIA NESSA!

Errar a ordem das coordenadas ao subtrair, ou esquecer de elevar ao quadrado.

Passo 6 — Aplicar a lei dos cossenos para achar cos α

O ângulo α tem vértice em N, então o lado oposto a ele é QQ'. A lei dos cossenos relaciona os três lados com o cosseno desse ângulo.

Por que esta fórmula: Lei dos cossenos: c² = a² + b² - 2ab·cos(γ), onde c é o lado oposto ao ângulo γ. Aqui, a = QN, b = NQ', c = QQ', e γ = α.

cos α = fracQN^2 + NQ'^2 - QQ'^22 · QN · NQ'

De onde vem cada valor: QNQN = passo 5 · NQ′NQ' = passo 5 · QQ′QQ' = passo 5

cos α = frac((√(73))/(2))^2 + ((√(37))/(2))^2 - 3^22 · (√(73))/(2) · (√(37))/(2) = frac(73)/(4) + (37)/(4) - 9(√(73) · √(37))/(2) = frac(110)/(4) - 9(√(2701))/(2) = frac(110 - 36)/(4)(√(2701))/(2) = frac(74)/(4)(√(2701))/(2) = (74)/(4) · (2)/(√(2701)) = (37)/(√(2701))
cosα=37 /√2701cos \alpha = \boxed{37\ /√2701}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o lado errado como oposto ao ângulo, ou esquecer de elevar ao quadrado.

Passo 7 — Elevar ao quadrado para obter cos² α

A questão pede cos² α, então precisamos elevar o resultado ao quadrado.

Por que esta fórmula: Elevar ao quadrado uma fração eleva numerador e denominador.

cos⁡2α=(372701)2\cos^{2} \alpha = \left(\frac{37}{\sqrt{2701}}\right)^{2}

De onde vem cada valor: cosαcos \alpha = passo 6

cos^2 α = frac37^2(√(2701))^2 = (1369)/(2701)
cos2α=1369 /2701cos^{2} \alpha = \boxed{1369\ /2701}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar ao quadrado e marcar a alternativa com 37/√2701.

Passo 8 — Simplificar a fração

A fração 1369/2701 pode ser simplificada, e as alternativas estão em frações irredutíveis.

Por que esta fórmula: Para simplificar, dividimos numerador e denominador pelo máximo divisor comum. 1369 = 37², e 2701 = 37 × 73, então o MDC é 37.

13692701=37×3737×73=3773\frac{1369}{2701} = \frac{37 \times 37}{37 \times 73} = \frac{37}{73}

De onde vem cada valor: 13691369 = passo 7 · 27012701 = passo 7

13692701=3773\frac{1369}{2701} = \frac{37}{73}
cos2α=37 /73cos^{2} \alpha = \boxed{37\ /73}
NÃO CAIA NESSA!

Não perceber que 2701 = 37 × 73 e deixar a fração não simplificada.

Resposta: cos² α = 37/73 — alternativa E

Link permanente: /questoes/vu108109